[科普中國]-不定方程——五家共井

《九章算術》系統(tǒng)地總結了戰(zhàn)國、秦漢時期的數(shù)學成就，標志著以籌算為基礎的中國古代數(shù)學體系的正式形成。古希臘時期，《九章算術》的機械算法體系顯示出比歐幾里得幾何學更大的優(yōu)勢?！毒耪滤阈g》對我國后世數(shù)學的發(fā)展有著深遠的影響。

《九章算術》全書收有246個數(shù)學問題，分為九大類，即“九章”，比如第一章“方田”，主要講各種田畝面積的算法；包括長方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圓形、扇形、弓形、圓環(huán)，以及分數(shù)的通分、約分、加減乘除四則運損的法則；第二章“粟米”，主要講各種谷物按比例交換的算法；第九章“勾股”，主要講勾股定理的應用、直角相似三角形和一元二次方程的解法。

其中的第十三題“五家共井”問題，是當時世界上最早研究不定式方程的問題。

所謂“五家共井”問題，其實就是五戶人家合用一口井，若如果用2條甲家的繩加1條乙家的繩連接，從井口放下去，正好達到井深；同時，3條乙家的繩加1條丙家的繩、或用4條丙家的繩加1條丁家的繩、或用5條丁家的繩加1條戊家的繩、或用6條戊家的繩加1條甲家的繩來連接，也正好可以抵達井深。問：井的深度及各家的繩長各為多少?

因為這道題中含有兩個以上的未知量，同時也沒給出答案的范圍和特定條件，所以依題所排出的方程，有著無窮多組解，這就是我們所說的“不定方程”。

如果該題的長度單位為寸，那么它的最小正整數(shù)解如下：井深721寸，甲家的繩長為265寸，乙家的繩長191寸，丙家的繩長148寸，丁家的繩長129寸，戊家的繩長76寸。

與此同時，西方也有人在研究不定方程。古希臘亞歷山大城的丟番圖便是在西方發(fā)起研究的人，時間約在公元3世紀。

《九章算術》在人類文明史中有著舉足輕重的地位，它是“算經(jīng)之首”，也是中國古代算法的扛鼎之作，通過《九章算術》，我們更能體會到古人的智慧。

本文由中國人民大學附屬中學第二分校一級教師秦薇進行科學性把關。

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