[科普中國(guó)]-簡(jiǎn)單而不平凡的楊輝三角

楊輝三角，又叫做賈憲三角形，帕斯卡三角形。它在中國(guó)最早由賈憲在《釋鎖算術(shù)》中提出，后來(lái)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在所著的《詳解九章算法》中進(jìn)行了詳細(xì)說(shuō)明。

楊輝三角中的三角形數(shù)表，是自然界和諧統(tǒng)一的體現(xiàn)。楊輝三角是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，其中蘊(yùn)含著二項(xiàng)式系數(shù)的幾個(gè)相關(guān)性質(zhì)，包括二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性、增減性與最大值、各二項(xiàng)式系數(shù)的和等。

楊輝三角中還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不只這些規(guī)律，它本身也包含了很多奇妙的性質(zhì)。楊輝三角的前提是每行數(shù)字開(kāi)頭與結(jié)尾的數(shù)都為1；第n行的數(shù)字有n項(xiàng)，且數(shù)字之和為2n-1；在第n行中，第m個(gè)數(shù)與第n-m+1的數(shù)值相同，這便是組合數(shù)的性質(zhì)之一；第n行中的第m個(gè)數(shù)可以表示為：C（n-1，m-1），也就是從n-1個(gè)元素當(dāng)中選取 m-1個(gè)元素，這屬于楊輝三角的基本性質(zhì)之一；每個(gè)數(shù)字與上方兩數(shù)之和相同，按照此規(guī)律便能夠得出整個(gè)楊輝三角，即第n+1行中第i個(gè)數(shù)的數(shù)值為第n行中第i-1個(gè)數(shù)與第i個(gè)數(shù)相加之和相同，這便是組合數(shù)的又一大性質(zhì)，用公式可以表示為：C（n+1，i）=C（n，i）+C（n，i-1）。

在古老的楊輝三角中存在著很多奧秘，除了數(shù)學(xué)方面，楊輝三角也與許多詩(shī)文形成映射，展現(xiàn)了詩(shī)文之美。

一、 楊輝三角的外形與寶塔詩(shī)

唐代白居易做過(guò)一首《一七令·詩(shī)》

詩(shī)，

綺美，瑰奇。

明月夜，落花時(shí)。

能助歡笑，亦傷別離。

調(diào)清金石怨，吟苦鬼神悲。

天下只應(yīng)我愛(ài)，世間唯有君知。

自從都尉別蘇句，便到司空送白辭。

這種詩(shī)體名為寶塔詩(shī)，都是寬底尖頂，兩側(cè)對(duì)稱的結(jié)構(gòu)。每行每句相比上一行增加一字。從外形上看，富有美感的寶塔詩(shī)和楊輝三角很是相似。

二、 遞推鏈與連環(huán)章

楊輝三角每行首尾數(shù)字都是1，中間的每個(gè)數(shù)剛好是該數(shù)兩肩上的數(shù)字之和。這種層層遞推的數(shù)鏈結(jié)構(gòu)，表現(xiàn)在文學(xué)中就是連環(huán)章。

如經(jīng)典的詩(shī)文有《桃話冷落》：“桃花冷落被風(fēng)飄，飄落殘花過(guò)小橋。橋下金魚雙戲水，水邊小鳥理新毛。毛衣未濕黃梅雨，雨滴江梨分外嬌……敲門借問(wèn)天臺(tái)路，路過(guò)小橋有斷橋，橋邊種碧桃?！比?shī)一氣呵成，從“桃”字開(kāi)始，首尾相連，每句首字是上一句末字，頂真回環(huán)。句與句之間的關(guān)系和楊輝三角行與行之間層層遞推的關(guān)系有著異曲同工之妙；全詩(shī)首尾同字，也和楊輝三角每行首尾都是1結(jié)構(gòu)相同。

楊輝三角雖然是數(shù)學(xué)問(wèn)題，可是只要用心觀察，便會(huì)發(fā)現(xiàn)它在很多方面都有著神奇的魅力。

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