[科普中國]-四元數(shù)

四元數(shù)是簡單的超復(fù)數(shù)。 復(fù)數(shù)是由實數(shù)加上虛數(shù)單位 i 組成，其中i^2 = -1。 相似地，四元數(shù)都是由實數(shù)加上三個虛數(shù)單位 i、j、k 組成，而且它們有如下的關(guān)系： i^2 = j^2 = k^2 = -1， i^0 = j^0 = k^0 = 1 , 每個四元數(shù)都是 1、i、j 和 k 的線性組合，即是四元數(shù)一般可表示為a + bk+ cj + di，其中a、b、c 、d是實數(shù)。

對于i、j、k本身的幾何意義可以理解為一種旋轉(zhuǎn)，其中i旋轉(zhuǎn)代表X軸與Y軸相交平面中X軸正向向Y軸正向的旋轉(zhuǎn)，j旋轉(zhuǎn)代表Z軸與X軸相交平面中Z軸正向向X軸正向的旋轉(zhuǎn)，k旋轉(zhuǎn)代表Y軸與Z軸相交平面中Y軸正向向Z軸正向的旋轉(zhuǎn)，-i、-j、-k分別代表i、j、k旋轉(zhuǎn)的反向旋轉(zhuǎn)。（見右圖）

基本信息四元數(shù)（Quaternions）是由愛爾蘭數(shù)學(xué)家哈密頓(William Rowan Hamilton,1805-1865）在1843年發(fā)明的數(shù)學(xué)概念。四元數(shù)的乘法不符合交換律（commutative law），故

它似乎破壞了科學(xué)知識中一個最基本的原則。

明確地說，四元數(shù)是復(fù)數(shù)的不可交換延伸。如把四元數(shù)的集合考慮成多維實數(shù)空間的話，四元數(shù)就代表著一個四維空間，相對于復(fù)數(shù)為二維空間。

四元數(shù)是除環(huán)(除法環(huán)）的一個例子。除了沒有乘法的交換律外，除法環(huán)與域是相類的。特別地，乘法的結(jié)合律仍舊存在、非零元素仍有逆元素。

四元數(shù)形成一個在實數(shù)上的四維結(jié)合代數(shù)（事實上是除法代數(shù)），并包括復(fù)數(shù)，但不與復(fù)數(shù)組成結(jié)合代數(shù)。四元數(shù)（以及實數(shù)和復(fù)數(shù)）都只是有限維的實數(shù)結(jié)合除法代數(shù)。

四元數(shù)的不可交換性往往導(dǎo)致一些令人意外的結(jié)果，例如四元數(shù)的 n-階多項式能有多于 n 個不同的根。

詳見參考資料《關(guān)于四元數(shù)的幾何意義和物理應(yīng)用》1

基本性質(zhì)四元數(shù)就是形如 ai+bj+ck+d 的數(shù)，a、b、c、d是實數(shù)。

i^2=j^2=k^2=-1

ij=k、ji=-k、jk=i、kj=-i、ki=j、ik=-j

（a^2+b^2+c^2+d^2）的平方根，稱為四元數(shù)的模。

例子假設(shè)：

x = 3 + i

y = 5i + j - 2k

那么：

x + y = 3 + 6i + j - 2k

xy =( {3 + i} )( {5i + j - 2k} ) = 15i + 3j - 6k + 5i^2 + ij - 2ik

= 15i + 3j - 6k - 5 + k + 2j = - 5 + 15i + 5j - 5k

群旋轉(zhuǎn)像在四元數(shù)和空間轉(zhuǎn)動條目中詳細(xì)解釋的那樣，非零四元數(shù)的乘法群在R3的取實部為零的拷貝上以共軛作用可以實現(xiàn)轉(zhuǎn)動。單位四元數(shù)（絕對值為1的四元數(shù)）的共軛作用，若實部為cos(t)，是一個角度為2t的轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)軸為虛部的方向。四元數(shù)的優(yōu)點是：

非奇異表達(dá)（和例如歐拉角之類的表示相比）

比矩陣更緊湊（更快速）

單位四元數(shù)的對可以表示四維空間中的一個轉(zhuǎn)動。

所有單位四元數(shù)的集合組成一個三維球S3和在乘法下的一個群（一個李群）。S3是行列式為1的實正交3×3正交矩陣的群SO（3,R）的雙面覆蓋，因為每兩個單位四元數(shù)通過上述關(guān)系對應(yīng)于一個轉(zhuǎn)動。群S3和SU（2）同構(gòu)，SU（2）是行列式為1的復(fù)酉2×2矩陣的群。令A(yù)為形為a + bi + cj + dk的四元數(shù)的集合，其中a,b,c和d或者都是整數(shù)或者都是分子為奇數(shù)分母為2的有理數(shù)。集合A是一個環(huán)，并且是一個格。該環(huán)中存在24個四元數(shù)，而它們是施萊夫利符號為{3,4,3}的正二十四胞體的頂點。

矩陣表示有兩種方法能以矩陣表示四元數(shù)，并以矩陣之加法、乘法應(yīng)用于四元數(shù)之加法、乘法。

第一種是以二階復(fù)數(shù)矩陣表示。若 h = a + bi + cj + dk 則它的復(fù)數(shù)形式為：

這種表示法有如下優(yōu)點：

所有復(fù)數(shù) (c = d = 0) 就相應(yīng)于一個實矩陣。

四元數(shù)的絕對值的平方就等于矩陣的行列式。

四元數(shù)的共軛值就等于矩陣的共軛轉(zhuǎn)置。

對于單位四元數(shù) (|h| = 1）而言，這種表示方式給了四維球體和SU（2）之間的一個同型，而后者對于量子力學(xué)中的自旋的研究十分重要。（請另見泡利矩陣）

第二種則是以四階實數(shù)矩陣表示：

其中四元數(shù)的共軛等于矩陣的轉(zhuǎn)置。

歷史四元數(shù)是由哈密頓在1843年愛爾蘭發(fā)現(xiàn)的。當(dāng)時他正研究擴展復(fù)數(shù)到更高的維次（復(fù)數(shù)可視為平面上的點）。他不能做到三維空間的例子，但四維則造出四元數(shù)。根據(jù)哈密頓記述，他于10月16日跟他的妻子在都柏林的皇家運河（Royal Canal）上散步時突然想到 的方程解。之后哈密頓立刻將此方程刻在附近布魯穆橋（Brougham Bridge，現(xiàn)稱為金雀花橋 Broom Bridge）。這條方程放棄了交換律，是當(dāng)時一個極端的想法（那時還未發(fā)展出向量和矩陣）。

不只如此，哈密頓還創(chuàng)造了向量的內(nèi)外積。他亦把四元數(shù)描繪成一個有序的四重實數(shù)：一個純量（a）和向量（bi + cj + dk）的組合。若兩個純量部為零的四元數(shù)相乘，所得的純量部便是原來的兩個向量部的純量積的負(fù)值，而向量部則為向量積的值，但它們的重要性仍有待發(fā)掘。

哈密頓之后繼續(xù)推廣四元數(shù)，并出了幾本書。最后一本《四元數(shù)的原理》（Elements of Quaternions）于他死后不久出版，長達(dá)八百多頁。

用途爭辯四元數(shù)的用途仍在爭辯之中。一些哈密頓的支持者非常反對奧利弗·亥維賽（Oliver Heaviside）的向量代數(shù)學(xué)和約西亞·威拉德·吉布斯（Josiah Willard Gibbs）的向量微積分的發(fā)展，以維持四元數(shù)的超然地位。對于三維空間這可以討論，但對于更高維四元數(shù)就失效了（但可用延伸如八元數(shù)和柯利弗德代數(shù)學(xué)）。而事實上，在二十世紀(jì)中葉的科學(xué)和工程界中，向量幾乎已完全取代四元數(shù)的位置2。

詹姆斯·克拉克·麥克斯韋（James Clerk Maxwell）曾經(jīng)在他的《電磁場動力理論》（A Dynamical Theory of Electromagnetic Field）直接以20條有20個變量的微分方程組來解釋電力、磁力和電磁場之間的關(guān)系。某些早期的麥克斯韋方程組使用了四元數(shù)來表述，但與后來亥維賽使用四條以向量為基礎(chǔ)的麥克斯韋方程組表述相比較，使用四元數(shù)的表述并沒有流行起來3。

運算綜述

四元數(shù)運算在電動力學(xué)與廣義相對論中有廣泛的應(yīng)用。四元數(shù)可以用來取代張量表示。有時候采用帶有復(fù)數(shù)元素之四元數(shù)會比較容易，導(dǎo)得結(jié)果不為除法代數(shù)之形式。然而亦可結(jié)合共軛運算以達(dá)到相同的運算結(jié)果。

此處僅討論具有實數(shù)元素之四元數(shù)，并將以兩種形式來描述四元數(shù)。其中一種是向量與純量的結(jié)合，另一形式兩個創(chuàng)建量（constructor）與雙向量（bivector；i、j與k）的結(jié)合。

定義兩個四元數(shù)：

其中 表示矢量 ；而 表示矢量 。

四元數(shù)加法：p + q

跟復(fù)數(shù)、向量和矩陣一樣，兩個四元數(shù)之和需要將不同的元素加起來。

加法遵循實數(shù)和復(fù)數(shù)的所有交換律和結(jié)合律。

四元數(shù)乘法：pq

兩個四元數(shù)之間的非可換乘積通常被格拉斯曼（Hermann Grassmann）稱為積，這個積上面已經(jīng)簡單介紹過，它的完整型態(tài)是︰

由于四元數(shù)乘法的非可換性，pq并不等于qp。格拉斯曼積常用在描述許多其他代數(shù)函數(shù)。qp乘積的向量部分是：

(勘誤)不是-u X v,是+v X u

四元數(shù)點積： p · q

點積也叫做歐幾里德內(nèi)積，四元數(shù)的點積等同于一個四維向量的點積。點積的值是p中每個元素的數(shù)值與q中相應(yīng)元素的數(shù)值的乘積的和。這是四元數(shù)之間的可換積，并返回一個標(biāo)量。

點積可以用格拉斯曼積的形式表示：

這個積對于從四元數(shù)分離出一個元素有用。例如，i項可以從p中這樣提出來：

四元數(shù)外積：Outer(p,q)

歐幾里德外積并不常用； 然而因為外積和內(nèi)積的格拉斯曼積形式的相似性，它們總是一同被提及：

四元數(shù)偶積：Even(p,q)

四元數(shù)偶積也不常用，但是它也會被提到，因為它和奇積的相似性。它是純對稱的積；因此，它是完全可交換的。

叉積：p × q

四元數(shù)叉積也稱為奇積。它和向量叉積等價，并且只返回一個向量值：

四元數(shù)轉(zhuǎn)置：p?1

四元數(shù)的轉(zhuǎn)置通過 被定義。它定義在上面的定義一節(jié)，位于屬性之下（注意變量記法的差異）。其建構(gòu)方式相同于復(fù)倒數(shù)（complex inverse）之構(gòu)造：

一個四元數(shù)的自身點積是個純量。四元數(shù)除以一個純量等效于乘上此純量的倒數(shù)，而使四元數(shù)的每個元素皆除以此一除數(shù)。

四元數(shù)除法：p?1q

四元數(shù)的不可換性導(dǎo)致了 和 的不同。這意味著除非p是一個標(biāo)量，否則不能使用q/p這一符號。

四元數(shù)純量部：Scalar(p)

四元數(shù)的標(biāo)量部分可以用前面所述的點積來分離出來：

四元數(shù)向量部：Vector(p)

四元數(shù)的向量部分可以用外積提取出來，就象用點積分離標(biāo)量那樣：

四元數(shù)模：|p|

四元數(shù)的絕對值是四元數(shù)到原點的距離。

四元數(shù)符號數(shù)：sgn(p)

一復(fù)數(shù)之符號數(shù)乃得出單位圓上，一個方向與原復(fù)數(shù)相同之復(fù)數(shù)。四元數(shù)的符號數(shù)亦產(chǎn)生單位四元數(shù)：

四元數(shù)輻角：arg(p)

幅角函數(shù)可找出一4-向量四元數(shù)偏離單位純量（即：1）之角度。此函數(shù)輸出一個純量角度。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

楊榮佳 - 教授 - 河北大學(xué)