[科普中國]-拉德馬赫函數(shù)系

拉德馬赫函數(shù)系是有重要力量和應(yīng)用價值的一個特殊正交函數(shù)系。拉德馬赫函數(shù)系的函數(shù)在二進(jìn)區(qū)間上取值1，-1或0，它與在應(yīng)用中有重要意義的沃爾什函數(shù)系關(guān)系密切。

簡介拉德馬赫函數(shù)系是有重要力量和應(yīng)用價值的一個特殊正交函數(shù)系。

在一維情形，可先定義函數(shù)

然后將 按周期 1 做延拓，即令 （[t]為 t 的整數(shù)部分）或 ，再定義

則 稱為區(qū)間 [0,1]上的拉德馬赫函數(shù)系，它是[0,1]上的正交系，但不是完備的。

性質(zhì)拉德馬赫函數(shù)系有如下重要性質(zhì)：

設(shè)數(shù)列 有

則級數(shù)

在[0,1]上幾乎處處收斂，其和 對一切 成立；還存在正的常數(shù) Ap和Bp，使

因此

可用以刻畫。

應(yīng)用拉德馬赫函數(shù)系的函數(shù)在二進(jìn)區(qū)間上取值1，-1或0，它與在應(yīng)用中有重要意義的沃爾什函數(shù)系關(guān)系密切，在應(yīng)用中常稱為開關(guān)函數(shù)，是由德國數(shù)學(xué)家拉德馬赫于1922年提出的，還有一些等價的定義方式（例如可表示成，這里sgn表示符合函數(shù)）。

推廣拉德馬赫函數(shù)系可以推廣到高維空間，記

則由定義的函數(shù)系 可稱為 Q 上的拉德馬赫函數(shù)系，它具有與一維情形相同的性質(zhì)的重要意義，特別地，若將和分別理解成和

則由仍有

并且(1)式（其中各有關(guān)量均按n維情形定義）仍然成立。1

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡啟洲 - 副教授 - 南京理工大學(xué)