[科普中國]-博特定理

博特定理是同倫群的周期性定理，是關(guān)于從球面到復(fù)數(shù)域上一般線性群的連續(xù)映射性質(zhì)的一個(gè)定理。

簡介博特定理是同倫群的周期性定理，是關(guān)于從球面到復(fù)數(shù)域上一般線性群的連續(xù)映射性質(zhì)的一個(gè)定理。

設(shè)Sn-1為Rn中的單位球面，GL(N,C)是從CN到CN上線性映射（從而是雙射）所構(gòu)成的一般線性群，于是博特(Borr,R.)的一個(gè)定理說，對于連續(xù)映射 ，當(dāng)2N≥n時(shí)：

若n為奇數(shù)，則f同倫于常值映射。

若n為偶數(shù)，對于每個(gè)f可以定義一個(gè)整數(shù)deg(f)，使得：

1、f同倫于g，當(dāng)且僅當(dāng)deg(f)=deg(g)；

2、對于任意給定的整數(shù)m，存在一個(gè)連續(xù)映射 ，使得deg(f)=m。

同倫論中的定義按照同倫論的術(shù)語，博特定理可以被陳述為：當(dāng)2N≥n時(shí)GL(N,C)的同倫群為 由此可知，GL(N,C)的同倫群之間有關(guān)系

由此可見，這是一種周期性的定理。1

同倫群(homotopy groups)

同倫群是基本群的高維推廣，1維同倫群就是基本群π1(X,x0)。

當(dāng)拓?fù)淇臻g是道路連通空間時(shí)，其同倫群與基點(diǎn)選取無關(guān);利用連續(xù)映射誘導(dǎo)的同倫群之間同態(tài)的一些性質(zhì)得出，同倫群是同倫型不變量（更是拓?fù)洳蛔兊模?；?dāng)n≥2時(shí)，同倫群πn(X,x0)是交換群，因而有時(shí)把運(yùn)算寫成[α]+[β]。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

杜強(qiáng) - 高級工程師 - 中國科學(xué)院工程熱物理研究所