[科普中國]-乞貝雷夫法

一種采用n個特定位置的不等間距坐標(biāo),以n次拋物線近似代替實際曲線,以計算該曲線下一定區(qū)域內(nèi)面積的數(shù)值積分法。

基本概念梯形法和辛浦生法,都是采用等間距的縱坐標(biāo)值乘上不同的系數(shù)相加,即得所求曲線下的面積。能否找到一個方法,即應(yīng)用不等間距的各縱坐標(biāo)值之和,再乘上一個共同的系數(shù)來得到曲線下的面積。乞貝雪夫就是基于這個思想,用n次拋物線代替實際曲線,采用不等間距的n個縱坐標(biāo)計算該拋物線下在給定區(qū)間的面積,以此近似地代替曲線下的面積,這時曲線下面積A為n個縱坐標(biāo)值之和,再乘上一個共同系數(shù)p。p值為曲線底邊邊長L除以縱坐標(biāo)數(shù)目n,即p=L/n,則1

如果曲線CD用9次拋物線替代,其9個縱坐標(biāo)位置如圖1所示。乞貝雪夫法的各縱坐標(biāo)對稱于原點布置,其數(shù)學(xué)分析可歸結(jié)為尋找各個縱坐標(biāo)距原點的距離和共同系數(shù)p,如各縱坐標(biāo)位置已確定,則可在曲線圖形上量得各縱坐標(biāo)的數(shù)值,相加后再乘上一個共同系數(shù),即得到曲線CD下的面積。由于所取的縱坐標(biāo)數(shù)目不同,其相應(yīng)的位置亦不同。1

推導(dǎo)三個坐標(biāo)的乞貝雪夫法。如圖2所示,已知曲線CD及其底邊長度L,現(xiàn)取個縱坐標(biāo),其值為y1,y2及y3,坐標(biāo)原點取在曲線底邊cd的中點O。取曲線CD下面積的表達式為：1

為了確定上式中三個縱坐標(biāo)的位置(其中y2在坐標(biāo)原點處)和一個共同系數(shù)p,假定曲線CD用三次拋物線方程替代,即1

（1）

式中,a0,a1,a2,a3為常數(shù),則曲線CD下的面積將由定積分公式給出

（2）

所設(shè)三次拋物線必須通過各縱坐標(biāo)與曲線CD相交的E,F,G三點,即

當(dāng)x=-x1時， （3）

當(dāng)x=-x0時， （4）

當(dāng)x=x1時， （5）

將（3）、（4）、（5）代入（1）得

（6）

由于式(2)與式(6)代表同一面積,故兩式a0,a1中各項系數(shù)應(yīng)分別相等,即

解方程組，得

上式結(jié)果說明,在離曲線CD的底邊中點為±0.7071l(l為曲線CD的半長)處,設(shè)立兩個縱坐標(biāo)eE及gG,并量取它們的數(shù)值和中點處縱坐標(biāo)OF的數(shù)值,然后將三個縱坐標(biāo)的數(shù)值相加,再乘以共同系數(shù)2/3l,即得曲線CD的面積。1

上式是三坐標(biāo)的乞貝雪夫法,式中括號內(nèi)為各縱坐標(biāo)值的總和,括號外為共同系數(shù),其分子為曲線底邊的總長度,即cd=L=2L;分母為所取的縱坐標(biāo)數(shù)目n。1

同理,可推導(dǎo)出縱坐標(biāo)數(shù)目n為2,3,4,5,6,7,8,9和10時的縱坐標(biāo)位置,其曲線下面積的一般表達式為1

為了保證計算的精確性,在船舶靜力學(xué)計算中一般采用9個以上的縱坐標(biāo)數(shù)。用乞貝雪夫法進行船體計算時,需要繪制乞貝雪夫橫剖面圖,且讀取縱坐標(biāo)數(shù)值比較繁瑣,不如梯形法、辛浦生法等方便,因此僅在手工計算大傾角穩(wěn)性時應(yīng)用,該方法也可以用做計算靜矩和慣性矩等。1

乞貝雪夫法應(yīng)用為了求得船體的各種性能,必須計算船體的一些截面積,面積重心以及排水體積,體積重心等。但由于船體形狀復(fù)雜,難以用解析法獲得,通常用近似計算方法來進行。常用的計算方法是數(shù)值積分法,如梯形法,辛浦生法和乞貝雪夫法等。這些近似計算法可用于手算,而且也是電算的基礎(chǔ)。2

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

曹慧慧 - 副教授 - 中國礦業(yè)大學(xué)