[科普中國]-曼德博集合

曼德博集合（Mandelbrot set，或譯為曼德布洛特復(fù)數(shù)集合）是一種在復(fù)平面上組成分形的點的集合，以數(shù)學(xué)家本華·曼德博的名字命名。曼德博集合與朱利亞集合有些相似的地方，例如使用相同的復(fù)二次多項式來進行迭代。

簡介曼德博集合（Mandelbrot set，或譯為曼德布洛特復(fù)數(shù)集合）是一種在復(fù)平面上組成分形的點的集合，以數(shù)學(xué)家本華·曼德博的名字命名。曼德博集合與朱利亞集合有些相似的地方，例如使用相同的復(fù)二次多項式來進行迭代。

將曼德博集合無限放大都能夠有精妙的細節(jié)在內(nèi)，而這瑰麗的圖案僅僅由一個簡單的公式生成。因此有人認為曼德博集合是“人類有史以來做出的最奇異、最瑰麗的幾何圖形”，曾被稱為“上帝的指紋”。

定義曼德博集合可以用復(fù)二次多項式來定義：1

.

其中 是一個復(fù)數(shù)參數(shù)。

從 開始對 進行迭代：

.

.

.

每次迭代的值依序如以下序列所示：

.

不同的參數(shù) 可能使序列的絕對值逐漸發(fā)散到無限大，也可能收斂在有限的區(qū)域內(nèi)。

曼德博集合 就是使其不擴散的所有復(fù)數(shù) 的集合。

特性自相似

面積為1.5065918561

計算的方法曼德博集合一般用計算機程序計算。對于大多數(shù)的分形軟件，例如Ultra fractal，內(nèi)部已經(jīng)有了比較成熟的例子。下面的程序是一段偽代碼，表達了曼德博集合的計算思路。

For Each c in Complex repeats = 0 z = 0 Do z = z^2 + c repeats = repeats + 1 Loop until abs(z) > EscapeRadius or repeats > MaxRepeats '根據(jù)定理三，EscapeRadius可設(shè)置為2。 If repeats > MaxRepeats Then Draw c,Black '如果迭代次數(shù)超過MaxRepeats，就將c認定為屬于曼德博集合，并設(shè)置為黑色。 Else Draw c,color(z,c,repeats) 'colo函數(shù)用來決定顏色。 End IfNext相關(guān)的定理定理一若 ，則。

定理二若，則。

定理三若 ，則。

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

尹維龍 - 副教授 - 哈爾濱工業(yè)大學(xué)