[科普中國]-魏爾斯特拉斯函數(shù)

在數(shù)學(xué)中,魏爾斯特拉斯函數(shù)(Weierstrass function)是一類處處連續(xù)而處處不可導(dǎo)的實(shí)值函數(shù)。

簡介在數(shù)學(xué)中，魏爾斯特拉斯函數(shù)（英語：Weierstrass function）是一類處處連續(xù)而處處不可導(dǎo)的實(shí)值函數(shù)。魏爾斯特拉斯函數(shù)是一種無法用筆畫出任何一部分的函數(shù)，因?yàn)槊恳稽c(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都不存在，畫的人無法知道每一點(diǎn)該朝哪個方向畫。魏爾斯特拉斯函數(shù)的每一點(diǎn)的斜率也是不存在的。魏爾斯特拉斯函數(shù)得名于十九世紀(jì)的德國數(shù)學(xué)家卡爾·魏爾斯特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass; 1815–1897）。1

歷史上，魏爾斯特拉斯函數(shù)是一個著名的數(shù)學(xué)反例。魏爾斯特拉斯之前，數(shù)學(xué)家們對函數(shù)的連續(xù)性認(rèn)識并不深刻。許多數(shù)學(xué)家認(rèn)為除了少數(shù)一些特殊的點(diǎn)以外，連續(xù)的函數(shù)曲線在每一點(diǎn)上總會有斜率。魏爾斯特拉斯函數(shù)的出現(xiàn)說明了所謂的“病態(tài)”函數(shù)的存在性，改變了當(dāng)時數(shù)學(xué)家對連續(xù)函數(shù)的看法。

構(gòu)造魏爾斯特拉斯的原作中給出的構(gòu)造是：

其中，為正的奇數(shù)，使得：

這個函數(shù)以及它處處連續(xù)而又處處不可導(dǎo)的證明首次出現(xiàn)于魏爾斯特拉斯于1872年6月18日在普魯士科學(xué)院出版的一篇論文中。

證明這個函數(shù)處處連續(xù)并不困難。由于無窮級數(shù)的每一個函數(shù)項(xiàng)的絕對值都小于常數(shù)，而正項(xiàng)級數(shù)是收斂的。由Weierstrass判別法可以知道原級數(shù)一致收斂。因此，由于每一個函數(shù)項(xiàng)都是上的連續(xù)函數(shù)，級數(shù)和也是上的連續(xù)函數(shù)。

下面證明函數(shù)處處不可導(dǎo)：對一個給定的點(diǎn)，證明的思路是找出趨于 x 的兩組不同的數(shù)列和，使得

這與函數(shù)可導(dǎo)的定義矛盾。

一般人會直覺上認(rèn)為連續(xù)的函數(shù)必然是近乎可導(dǎo)的。即使不可導(dǎo)，所謂不可導(dǎo)的點(diǎn)也必然只占整體的一小部分。根據(jù)魏爾斯特拉斯在他的論文中所描述，早期的許多數(shù)學(xué)家，包括高斯，都曾經(jīng)假定連續(xù)函數(shù)不可導(dǎo)的部分是有限或可數(shù)的。這可能是因?yàn)橹庇^上想象一個連續(xù)但在不可數(shù)個點(diǎn)上不可導(dǎo)的函數(shù)是很困難的事。當(dāng)我們繪制函數(shù)的圖像時，總會畫出較為規(guī)則的圖形，例如滿足利普希茨條件的函數(shù)圖像。

魏爾斯特拉斯函數(shù)可以被視為第一個分形函數(shù)，盡管這個名詞當(dāng)時還不存在。將魏爾斯特拉斯函數(shù)在任一點(diǎn)放大，所得到的局部圖都和整體圖形相似。因此，無論如何放大，函數(shù)圖像都不會顯得更加光滑，也不存在單調(diào)的區(qū)間。

處處不可導(dǎo)函數(shù)的稠密性分析學(xué)的成果表明，魏爾斯特拉斯函數(shù)并不是連續(xù)函數(shù)中的少數(shù)幾個特例之一。盡管它是“病態(tài)”函數(shù)的一種，但可以證明，這種病態(tài)的函數(shù)事實(shí)上不在“少數(shù)”，甚至比那些“規(guī)則”的函數(shù)“多得多”。

在拓?fù)鋵W(xué)意義上：在從[0,1]區(qū)間射到實(shí)數(shù)上的連續(xù)函數(shù)空間C([0,1];R)中，處處不可導(dǎo)的函數(shù)的集合是稠密的（關(guān)于一致范數(shù)的拓?fù)洌?/p>

在測度論意義上：在配備了經(jīng)典維納測度γ的連續(xù)函數(shù)空間C([0,1];R)中，至少有一處可導(dǎo)的函數(shù)所構(gòu)成的集合的測度是0，也就是說和處處不可導(dǎo)的函數(shù)相比是可以“忽略”的。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尹維龍 - 副教授 - 哈爾濱工業(yè)大學(xué)