[科普中國(guó)]-偏微分算子

偏微分算子是一類常見(jiàn)而又重要的算子。它是微分方程中研究的核心對(duì)象。

簡(jiǎn)介線性微分算子微分算子是一類常見(jiàn)而又重要的算子。它是微分方程中研究的核心對(duì)象。

設(shè)A是由某函數(shù)空間E1到函數(shù)空間E2的映射，f=Au(u∈E1,f∈E2)。如果像f在每個(gè)點(diǎn)x處的值f(x)由原像u和它的某些導(dǎo)函數(shù)在x處的值所決定，則稱A為微分算子。當(dāng)A還是線性時(shí)，稱A是線性微分算子。

定義是線性微分算子，其中α=(α1,α2,...,αn)為負(fù)的整數(shù)組，|α|=α1+α2+...+αn，aα(x)是定義在n維歐幾里得空間某個(gè)開(kāi)集Ω上的函數(shù)。

當(dāng)n=1時(shí)，P(x,D)是常微分算子。

當(dāng)n≥2時(shí)，P(x,D)是偏微分算子。1

微分方程微分方程指含有未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式。解微分方程就是找出未知函數(shù)。

微分方程是伴隨著微積分學(xué)一起發(fā)展起來(lái)的。微積分學(xué)的奠基人Newton和Leibniz的著作中都處理過(guò)與微分方程有關(guān)的問(wèn)題。微分方程的應(yīng)用十分廣泛，可以解決許多與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題。物理中許多涉及變力的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，如空氣的阻力為速度函數(shù)的落體運(yùn)動(dòng)等問(wèn)題，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和人口統(tǒng)計(jì)等領(lǐng)域都有應(yīng)用。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

李宗秀 - 副教授 - 黑龍江財(cái)經(jīng)學(xué)院