[科普中國(guó)]-佩蒂斯積分

佩蒂斯積分亦稱弱積分，是一種常用的向量值函數(shù)的積分，此積分是佩蒂斯(Pettis,P. B.J. )于1938年建立的。

簡(jiǎn)介佩蒂斯積分亦稱弱積分，是一種常用的向量值函數(shù)的積分，此積分是佩蒂斯(Pettis,P. B.J. )于1938年建立的。

設(shè)(Ω,??,μ) 為σ有限測(cè)度空間，x(t) 是定義在Ω上而取值于巴拿赫空間X的弱可測(cè)向量值函數(shù)，如果對(duì)任意 A ??，都存在 ，使得對(duì)于一切 ，積分

存在，且

則說(shuō)x(t) 在Ω 上佩蒂斯可積，此時(shí)記為 并稱 XA 為x(t) 在 A 上的佩蒂斯積分。

性質(zhì)當(dāng)x(t)在Ω上佩蒂斯可積時(shí)，在每個(gè)A??上，佩蒂斯積分是惟一確定的。

除去富比尼定理外，勒貝格積分的其他性質(zhì)對(duì)于佩蒂斯積分也成立。例如，佩蒂斯積分作為向量值集函數(shù)具有絕對(duì)連續(xù)性和可列可加性，對(duì)于被積函數(shù)具有線性性質(zhì)。

如果向量值函數(shù)x(t)是博赫納可積的，則它也是佩蒂斯可積的。并且，該兩積分值是相同的，但反之不然。

又如，佩蒂斯可積的函數(shù)必是蓋爾范德可積的，當(dāng)X是自反的巴拿赫空間時(shí)，這兩種積分彼此相同。1

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

李嘉騫 - 博士 - 同濟(jì)大學(xué)