[科普中國]-單純剖分

單純剖分(simplicial subdivision)是一種組合構(gòu)形。它是對于平面上三角形所做的一種三角剖分。若在這個三角剖分中，任何兩個三角形的公共部分不是點就是其中一個三角形的邊，則稱它為單純剖分。

概念單純剖分(simplicial subdivision)是一種組合構(gòu)形。它是對于平面上三角形所做的一種三角剖分。若在這個三角剖分中，任何兩個三角形的公共部分不是點就是其中一個三角形的邊，則稱它為單純剖分。它是將一個高維單形剖分為低維單形的并的一種特別情形。在一個單純剖分上，若將原三角形的三個頂點分別標(biāo)上0，1和2，然后，將它內(nèi)部的所有三角形的每個頂點標(biāo)以0，1或2，使得在原三角形邊上的小三角形的每個頂點的標(biāo)號均與此邊兩端之一的標(biāo)號相同，則稱這樣的標(biāo)號為正常標(biāo)號。在這種標(biāo)號中，三個頂點的標(biāo)號互不相同的三角形稱為顯三角形。當(dāng)然，原三角形本身就是一個顯三角形。施佩納(Sperner，E.)于1928年證明了一個引理。它的二維情形是說：在單純剖分上的任何正常標(biāo)號都有奇數(shù)個小顯三角形。這就是施佩納引理。它對于建立求一個連續(xù)映射的不動點的算法起了重要的作用。

拓?fù)鋱D拓?fù)鋱D是圖論的一個重要概念。能夠嵌入在某一拓?fù)淇臻gT中的圖G稱為拓?fù)鋱D。即，圖G的頂點為拓?fù)淇臻gT中的點，邊為連結(jié)其兩端點的簡單曲線，且任意兩邊除端點可能公共外無其他公共點。若拓?fù)淇臻gT為曲面S且S\G的每個連通片都是單連通區(qū)域，則稱G為曲面S上的地圖，記為M.用G(M)表示由M的頂點和邊所構(gòu)成的圖。地圖M的可定向性是由曲面S的可定向性確定的。即，若S為可定向的，則稱M為可定向地圖；否則稱M為不可定向的。曲面S的虧格稱為地圖M的虧格。若記v，ε和φ分別為M的頂點數(shù)、邊數(shù)和面數(shù)，則：

E(M)=v-ε+φ

事實上，這個公式是于1812-1813年間由呂里爾(Lhuilier，S.J.)給出的。因為歐拉(Euler，L.)第一個注意到這類關(guān)系，這個公式仍稱為歐拉公式。其中E(M)稱為地圖M的歐拉示性數(shù)。

對于地圖M，在其每一面的內(nèi)部選取一點作為頂點；對于每條邊e，將與其關(guān)聯(lián)的兩面中選定的頂點用一條簡單曲線e′連結(jié)，使得e′除與e有一個公共點外不與M的其他任何邊有公共點。這樣得到的地圖M′稱為M的對偶地圖。這里的對偶性也是對稱的。即，若M′為M的對偶地圖，則M也為M′的對偶地圖。若(不)可定向地圖M對于任何虧格小于M的虧格的(不)可定向地圖M′，G(M)與G(M′)是不同構(gòu)的，則稱M是(不)可定向的最大地圖。因為在所有那些與G(M)同構(gòu)的地圖中，這個M的面數(shù)最多。若M是曲面S上的地圖，且M的每個面都是三角形，則稱M是S的一個三角剖分。凡三角剖分都是最大地圖，但反之則不然。另一方面，若(不)可定向地圖M，對于任何虧格大于M的(不)可定向地圖M′，G(M)與G(M′)不同構(gòu)，則稱M為最小地圖。因為在所有與G(M)同構(gòu)的地圖中以這個M的面數(shù)為最少。若一個地圖僅有一個面，則稱它為單面地圖。凡單面地圖均是最小地圖，但反之則不然。

施佩納德國數(shù)學(xué)家。生卒地不詳。先后曾在柯尼斯堡、施特拉斯堡、弗賴貝格、波恩等地工作。1945年以后，任漢堡大學(xué)教授。施佩納的主要貢獻(xiàn)在近世代數(shù)(有施佩納代數(shù)、施佩納格等)和一般拓?fù)鋵W(xué)(有施佩納空間)等方面。著作有《矩陣論教程》(1932;合著)和《解析幾何與代數(shù)學(xué)引論》(1931—1935;合著)等，后者包括了近世代數(shù)、矩陣論和射影幾何等方面的內(nèi)容。1

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

武偉 - 高級工程師 - 天津直升機有限責(zé)任公司