[科普中國]-辛流形

數(shù)學(xué)上，一個辛流形是一個裝備了一個閉、非退化2-形式ω的光滑流形，ω稱為辛形式。辛流形的研究稱為辛拓?fù)?。辛流形作為?jīng)典力學(xué)和分析力學(xué)的抽象表述中的流形的余切叢自然的出現(xiàn)，例如在經(jīng)典力學(xué)的哈密頓表述中，該領(lǐng)域的一個主要原因之一：一個系統(tǒng)的所有組態(tài)的空間可以用一個流形建模，而該流形的余切叢描述了該系統(tǒng)的相空間。

一個辛流形上的任何實值可微函數(shù)H可以用作一個能量函數(shù)或者叫哈密頓量。和任何一個哈密頓量相關(guān)有一個哈密頓向量場；該哈密頓向量場的積分曲線是哈密頓-雅可比方程的解。哈密頓向量場定義了辛流形上的一個流場，稱為哈密頓流場或者叫辛同胚。根據(jù)劉維爾定理，哈密頓流保持相空間的體積形式不變。

簡介具有某種特殊結(jié)構(gòu)的微分流形，這種結(jié)構(gòu)稱為辛結(jié)構(gòu)。設(shè)M為一微分流形,又在M上具有一個二次非退化的閉外微分形式σ,則稱σ是M上的一個辛結(jié)構(gòu)，又稱M為具辛結(jié)構(gòu)σ的辛流形。微分流形的辛結(jié)構(gòu)聯(lián)系于向量空間的辛結(jié)構(gòu)。設(shè)V是m維向量空間,在V上定義了一個反對稱、非退化的雙線性形式σ，即σ滿足：①反對稱性，σ(α,β)=-σ(β,α)，對任意α,β∈V成立；②非退化,若對任意β∈V，有σ(α,β)=0，必有α=0,則稱σ為向量空間V上的一個辛結(jié)構(gòu),又稱V 為具辛結(jié)構(gòu)σ的辛向量空間。對于具辛結(jié)構(gòu)σ的微分流形M,在每一點x∈M，將σ(x)視為TxM上的雙線性形式，即得出向量空間TxM上的辛結(jié)構(gòu)。具辛結(jié)構(gòu)的向量空間 V或具辛結(jié)構(gòu)的微分流形M都必須是偶數(shù)維的。

辛流形總是自帶一個辛結(jié)構(gòu)ω，其外積構(gòu)成辛流形的辛形式，它是處處非零的。一般而言，辛流形的辛形式只是光滑的，只能保證辛流形的可定向的，必須要全純辛形式才一定保證能夠有復(fù)定向，這樣的辛流形被稱為全純辛流形。全純辛流形是否一定存在呢？答案是肯定的，在Berger的分類中，完整群為Sp（m）的hyperkahler manifold就是全純辛流形，因此一定是復(fù)可定向的。

對于全純辛流形而言，就連復(fù)定向也變成平庸的了，似乎還要考慮更高層次的辛定向，定義為存在處處非零的辛體積形式，使得四元數(shù)射影空間具有與復(fù)射影空間或?qū)嵣溆翱臻g類似的定向。

相關(guān)介紹線性辛流形有一個標(biāo)準(zhǔn)“局部”模型，也就是R，其中ωi,n+i= 1;ωn+i,i= -1;ωj,k= 0 對于所有i = 0,...,n-1;j,k=0,...,2n-1(k≠j+nandj≠k+n)。這是一個線性辛空間的例子。參看辛向量空間。一個稱為達(dá)布定理的命題表明局部來看每個辛流形都和這個簡單的辛流形相似。1

體積形式從定義可以直接得到每個辛流形M都是偶數(shù)維2n;這是因為ω是無處為0的形式，辛體積形式。由此可以得到，每個辛流形是有一個標(biāo)準(zhǔn)的定向的，并且有一個標(biāo)準(zhǔn)的測度，劉維爾測度（經(jīng)常重整為ω/n!）。

切觸流形和辛流形緊密相關(guān)的有一個奇數(shù)維流形，稱為切觸流形。每個2n+1-維切觸流形(M, α)給出一個2n+2-維辛流形(M×R, d(eα)).

拉格朗日子流形辛流形的子流形有兩個自然的幾何概念，它們是辛子流形（可以是任何偶數(shù)維）和拉格朗日子流形（一半維度），其中辛流形要導(dǎo)出該子流形上的一個辛形式，而辛流形限制到拉格朗日子流形的切空間上時為0。拉格朗日子流形自然地出現(xiàn)到很多物理和幾何的情況中；例如，辛同胚的圖像在乘積辛流形(M×M, ω × ?ω)上是拉格朗日子流形。2

辛流形與空間的關(guān)系一個系統(tǒng)的所有組態(tài)的空間(位形空間)可以用一個流形建模，而該流形的余切叢描述了該系統(tǒng)的相空間。"原來位形空間是一個流形，是一個圖集。啥是余切叢呢？ " 微分幾何中，流形的余切叢是流形每點的切空間組成的向量叢?？梢栽谟嗲袇采隙x一組特殊的坐標(biāo)系；這些被稱為正則坐標(biāo)。因為余切叢可以視為辛流形，任何余切叢上的實函數(shù)總是可以解釋為一個哈密頓函數(shù)；這樣余切叢可以理解為哈密頓力學(xué)討論的相空間。" 這樣理解，整個體系在3N維位形空間流動，每個點都有一條切線（光滑的嘛），這個切線的斜率就是這點的一階導(dǎo)（受力），但是這個一階導(dǎo)實際上是由所有的粒子的一階導(dǎo)（受力）線性加和構(gòu)成的，所有粒子的一階導(dǎo)(3N個分量fix, fiy, fiz)構(gòu)成了向量叢。每個粒子都有坐標(biāo)向量和動量向量，構(gòu)成正則坐標(biāo)，正則坐標(biāo)構(gòu)成相空間，哈密頓為此相空間的實函數(shù)。而這個相空間就是一個辛流形，是位形空間上的滿足封閉，光滑，可點乘，不退化，滿足空間對稱和時間對稱的哈密頓函數(shù)。所以辛流形描述了相空間與哈密頓之間的數(shù)學(xué)特性。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王沛 - 副教授、副研究員 - 中國科學(xué)院工程熱物理研究所