[科普中國]-幾何序列

幾何序列可分為Ⅰ型幾何序列和Ⅱ型幾何序列，Ⅱ型幾何序列可以看做Ⅰ型幾何序列的特殊形式，也可以看作是它的推廣形式。Richard Games采用了一種全新的思想理解m序列的周期互相關(guān)函數(shù)，Klapper、Chan和Goresky在Games的基礎(chǔ)上研究了一類稱為幾何序列的自相關(guān)和互相關(guān)函數(shù)。Ⅱ型幾何序列可以看做Ⅰ型幾何序列的特殊形式，也可以看作是它的推廣形式。

基本介紹Richard Games采用了一種全新的思想理解m序列的周期互相關(guān)函數(shù)。設(shè)GF(2)n是有限域GF(2)上的向量空間，PG(n-1，2)是GF(2)n上的有限射影幾何。我們知道任意一個m序列都可以表示成

的形式，這里α是GF(2n)的本原元， 是GF(2n)到GF(2)上的跡函數(shù)， 。Games證明了m序列S和 上的超平面

是一一對應(yīng)的。這樣，Games把m序列看成一個有限射影幾何上的超平面，則m序列的周期互相關(guān)函數(shù)等價于超曲面的交點(diǎn)數(shù)，然后利用有限射影幾何的理論計(jì)算出了一些m序列的周期互相關(guān)函數(shù)。

Klapper，Chan和Goresky在Games的基礎(chǔ)上研究了一類稱為幾何序列的自相關(guān)和互相關(guān)函數(shù)。下面我們給出幾何序列的定義1。

*幾何序列還有一種定義：稱環(huán)A的元素序列(un)是幾何序列，如果存在A的元素a，使得對任一非零自然數(shù)n，有un=aun-1=un-1a. 在此條件下，對任一自然數(shù)n，有un=anb，其中b=u0，反之，如果ab=ba，則由前面關(guān)系定義的序列(un)是幾何序列，它稱為以a為公比、以b為首項(xiàng)的幾何序列2。

Ⅰ型幾何序列定義 設(shè)n是正整數(shù)，q是素?cái)?shù)p的方冪，α是有限域的本原元，

為q元m序列，f是從GF(q)到GF(2)的任意非線性函數(shù)，稱序列

為Ⅰ型幾何序列。

定義2 設(shè)是有限域的兩個本原元，

f,g是從GF(q)到GF(2)的任意非線性函數(shù)，

和

是兩個Ⅰ型幾何序列。若是

則稱序列T和序列S是線性相關(guān)的；若

稱序列T和序列S是二次相關(guān)的。

Klapper等人給出了線性相關(guān)和二次相關(guān)的Ⅰ型幾何序列的互相關(guān)函數(shù)。但是它們只是下面要介紹的Ⅱ型幾何序列的特例，所以這里省略。

Ⅱ型幾何序列下面我們研究另外一種形式的幾何序列，它既可以看作是定義1中幾何序列的特殊形式，也可以看作是它的推廣形式。

定義3 設(shè)q是素?cái)?shù)p的冪，m|n，α是的本原元，

是有限域GF(q)上的GMW序列，f是GF(q)到GF(2)的任意非線性函數(shù)，稱

為Ⅱ型幾何序列，其中

特別地，當(dāng)r=l時，由于，所以S就退化為Ⅰ型幾何序列；在Ⅰ型幾何序列中，若取，就是Ⅱ型幾何序列1。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

任毅如 - 副教授 - 湖南大學(xué)