[科普中國(guó)]-平穩(wěn)序列

平穩(wěn)序列（stationary series）是基本上不存在趨勢(shì)的序列。這類(lèi)序列中的各觀察值基本上在某個(gè)固定的水平上波動(dòng)，雖然在不同的時(shí)間段波動(dòng)的程度不同，但并不存在某種規(guī)律，其波動(dòng)可以看成是隨機(jī)的。1

定義在隨機(jī)過(guò)程理論中，平穩(wěn)序列（Stationary sequence）是指聯(lián)合概率分布函數(shù)不隨時(shí)間改變的隨機(jī)序列.如果一個(gè)隨機(jī)序列 {Xn,n≥0}是平穩(wěn)的，則其隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為:

F(X1,X2,…,Xk)=**F(**X1+t,X2+t,…，Xk+t);(k≥2)

其中F表示為聯(lián)合分布函數(shù);t∈R，且t大于0;X1,X2,…,Xk是{Xn,n≥0}中的任意K個(gè)隨機(jī)變量.

性質(zhì)平穩(wěn)序列中，往往(X1,?,Xn)與Xn+1不獨(dú)立。所以利用歷史樣本來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)時(shí)間就有了可能。

一般來(lái)講，獲取平穩(wěn)序列的辦法是：將時(shí)間序列的趨勢(shì)項(xiàng)和季節(jié)項(xiàng)都去掉，只留下隨機(jī)項(xiàng)。

首先看一下自協(xié)方差函數(shù)。它滿足三條性質(zhì)（稱為非負(fù)定序列）：

對(duì)稱性

非負(fù)定性：自協(xié)方差矩陣是非負(fù)定的。

有界性：|γk|≤γ0

樣本的自協(xié)方差函數(shù)：γk^=1N∑N?kt=1(xt+k?xˉ)(xt?xˉ)

模型與基本數(shù)據(jù)平穩(wěn)序列：如果一個(gè)時(shí)間序列：二階矩有限，一階矩為常數(shù)，自協(xié)方差函數(shù)對(duì)于各個(gè)位置相同。這三個(gè)角度也是刻畫(huà)時(shí)間序列的常用角度2。

平穩(wěn)序列的平穩(wěn)性主要體現(xiàn)在均值不變、方差有限，別的限制很弱。自協(xié)方差函數(shù)的不變性仍然允許周期性的出現(xiàn)。

平穩(wěn)序列的周期性：可以體現(xiàn)在它的自協(xié)方差函數(shù)。

序列相關(guān)性：連續(xù)n個(gè)點(diǎn)上面的自協(xié)方差矩陣退化?

存在非0的n維實(shí)數(shù)向量使得這n個(gè)點(diǎn)的線性組合的方差為0，即這n個(gè)點(diǎn)的r.v. 線性相關(guān)。如果有n個(gè)向量線性相關(guān)，那么任意n+1個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量也是線性相關(guān)的。

時(shí)間序列的線性變換指的是對(duì)每個(gè)r.v進(jìn)行線性變換，而不是多個(gè)r.v.的加和。平穩(wěn)序列經(jīng)過(guò)線性變換之后仍然是平穩(wěn)序列。

自相關(guān)函數(shù)：平穩(wěn)序列{Xt}標(biāo)準(zhǔn)化后的序列{Yt}的自協(xié)方差函數(shù)ρk=γk/γ0， 它也是非負(fù)定序列。

白噪聲：白噪聲是最簡(jiǎn)單的平穩(wěn)序列，它比正常假設(shè)多了一條：二階矩不相關(guān)。即Cov(?t,?s)=δt?sσ2

分類(lèi)：獨(dú)立白噪聲、零均值白噪聲、標(biāo)準(zhǔn)白噪聲、正態(tài)白噪聲……

白噪聲主要用來(lái)描述簡(jiǎn)單隨機(jī)干擾。

Poisson白噪聲：Poisson過(guò)程減去均值，就是一個(gè)Poisson白噪聲。

布朗運(yùn)動(dòng)和正態(tài)白噪聲

調(diào)和白噪聲（Xt=bcos(at+Ut)

）注意，它是沒(méi)有周期性的。

正交平穩(wěn)序列：EXtYs=0,?s,t∈Z

對(duì)于零均值的平穩(wěn)序列，正交性與不相關(guān)性等價(jià)。

正交序列與平穩(wěn)序列的和的自協(xié)方差函數(shù)

線性平穩(wěn)序列

定義：由白噪聲的線性組合構(gòu)成的平穩(wěn)序列。

有限運(yùn)動(dòng)平均MA：形式為Xt=a0?t+a1?t?1+?+aq?t?q

經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算我們可以得到它的均值（0）和自協(xié)方差函數(shù)。我們可以很清楚地定義它為

相關(guān)的。

推廣到無(wú)窮情形，我們需要兩個(gè)工具，用來(lái)求無(wú)窮個(gè)r.v.的和的數(shù)學(xué)期望。如下：

單調(diào)收斂定理：非負(fù)單調(diào)遞增r.v.{ξn}, 如果ξn→ξ,a.s.那么Eξ=limnEξn

控制收斂定理：幾乎處處有界的r.v.序列，如果有極限，那么期望與極限可以交換。

有上面兩個(gè)定理，我們就可以給出線性平穩(wěn)序列的各種性質(zhì)了！ 即非負(fù)單調(diào)遞增r.v.序列如果有極限，那么極限與期望（積分）可以交換。

線性平穩(wěn)序列：對(duì)于絕對(duì)可和的實(shí)數(shù)序列{at},Xt=∑∞?∞aj?t?j

容易得到，它是零均值的（控制收斂定理） ，自協(xié)方差函數(shù)γk=σ2∑∞?∞ajaj+k（控制收斂定理）。

一般只要求平方可和，這時(shí)仍然是平穩(wěn)的序列。（平方可和弱于絕對(duì)可和）

若一個(gè)序列是零均值白噪聲的線性組合，系數(shù)序列平方可和，那么自協(xié)方差函數(shù)γk→0

（當(dāng)然，我們也可以取單面滑動(dòng)平均。這也是應(yīng)用時(shí)間序列分析中最常用的方法）

平穩(wěn)序列的譜函數(shù)這個(gè)東西是類(lèi)似于單個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)或密度函數(shù)存在的。平穩(wěn)序列的二階統(tǒng)計(jì)性質(zhì)可以由它的 譜分布函數(shù)或譜密度函數(shù)刻畫(huà)。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

任毅如 - 副教授 - 湖南大學(xué)