[科普中國]-舒爾定理

舒爾定理(Schur theorem)是源于數(shù)論中的一個(gè)定理，因?yàn)槭怯墒鏍?I.Schur)于1916年發(fā)表的，由這個(gè)定理可知，存在一個(gè)最小的整數(shù)sn，使得任意劃分{1，2，…，Sn}為n個(gè)子集S1，S2，…，Sn，都存在一個(gè)Si包含x，y，z，滿足x+y=z，這個(gè)最小數(shù)稱為舒爾數(shù)1。

基本介紹舒爾定理是德國數(shù)學(xué)家舒爾(I.Schur，1875～1944)在1916年發(fā)表的一篇研究有限域上的費(fèi)馬大定理的論文中證明的，論文的題目叫做“論同余式 ”，這里所說的舒爾定理是為了證明論文的主要結(jié)果而先行證明的結(jié)論。

舒爾定理(有限形式) 對任一給定的 ，存在 ，使得對[n]的任一k-染色 ，有 使 (這里的x，y可能相等)，上述數(shù)n的最小值記為S(k)。

舒爾定理的推廣舒爾定理是拉姆塞理論的源頭之一，雖然舒爾本人證明這個(gè)定理是為了研究別的問題，而且以后他也沒有在拉姆塞理論這一領(lǐng)域發(fā)表其他研究成果，但在這一理論的發(fā)展史上至少有二件大事與舒爾緊密相關(guān)。

i)在研究數(shù)論(有關(guān)于二次剩余和二次非剩余的分布)問題時(shí)，舒爾在1920年提出了一個(gè)猜想，這個(gè)猜想在1927年被荷蘭數(shù)學(xué)家范德瓦爾登(B.L.van der Waerden)證明為真，從而成為拉姆塞理論——也是數(shù)論——的一個(gè)著名經(jīng)典定理(后來這個(gè)定理稱作范德瓦爾登定理)。

ii)舒爾指導(dǎo)了他的一位博士生拉多(R.Rado)寫作學(xué)位論文，在拉多的1933年的學(xué)位論文以及隨后的一系列更進(jìn)一步的研究工作中，拉多證明了一個(gè)深刻的定理(后來被稱作拉多定理)，這個(gè)定理既是舒爾定理又是范德瓦爾登定理的非常深刻的推廣，它也是拉姆塞理論的經(jīng)典定理之一。

這里要介紹的是和舒爾定理的形式上很相像的一種深刻推廣，為敘述簡明，同時(shí)也為了更突出舒爾定理的定性方面，先給出舒爾定理的無限形式。

舒爾定理(無限形式) 對任一給定的以及N的任一k-染色，一定有同色的 滿足 。

這是舒爾定理的有限形式的直接推論。

下面的這個(gè)推廣結(jié)果是20世紀(jì)60年代后至少三位數(shù)學(xué)家各自獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)的，為了紀(jì)念其中已不幸天亡而又對拉姆塞理論作出杰出貢獻(xiàn)的一位數(shù)學(xué)家?？寺?J.Folkman，1938～1969)，我們遵從很多文獻(xiàn)的說法，把這一結(jié)果稱作?？寺ɡ?。

?？寺ɡ?/strong> 對任意給定的以及N的任一k-染色，N中一定有n元子集A，使得A中任意多個(gè)不同的數(shù)的和都同色。(更詳細(xì)地說，對A的每個(gè)非空子集X，記X中各數(shù)之和為n(x)，則所有n(X)都同色。)