[科普中國]-模糊群

模糊群(fuzzy group)是普通子群的一種推廣，它是群上的一類特殊的模糊子集。設(shè)G是群，H是G的模糊子集，滿足：1.對任何x，y∈G， 有H(x，y)≥min(H(x)，H(y));2.H(x)≥H(x-1);則稱H為G的模糊子群，簡稱模糊群。若H是G的模糊子群，且對任何x，y∈ G，有H(xyx-1)≥H(y)，則稱H為正規(guī)模糊子群。模糊群的概念是1971年由羅森菲爾德(A.Rosenfeld)引入的1。

基本介紹模糊代數(shù)是專門研究模糊集的各種代數(shù)結(jié)構(gòu)的，諸如模糊群、模糊線性空間等，這方面最早的工作見于1971年A.Rosenfeld的文獻，其中首次引入模糊群， 而模糊線性空間則是1977年被引入的2。

定義 設(shè)G是一個群，A是G的一個模糊子集，稱A是G上的模糊子群(或模糊群)，如果對G中任何x，y滿足：

(1)

(2)

易由以上定義知， ，若e是G的單位元，則對所有 。

從以上關(guān)于模糊群的定義看，它是在奠基于精確性經(jīng)典數(shù)學(xué)的模糊集合論上，再附加上種種條件而形成的，因而就無一例外地是直接奠基于通常的經(jīng)典數(shù)學(xué)之上的了，不過這兒稍有不同的是，模糊群是通常的經(jīng)典的模糊子集，模糊線性空間是通常的經(jīng)典線性空間的模糊子集，也就是說，要定義模糊群、模糊線性空間，必須先有通常的群和線性空間，這樣，它們就更在另一層意義上直接依賴于精確性經(jīng)典數(shù)學(xué)了。

還有諸多的模糊數(shù)學(xué)分支，比如模糊測度、模糊數(shù)、模糊線性空間、模糊集值映射、模糊賦范空問、模糊拓撲線性空間、模糊拓撲群等等，也都是類似于上面例子，在經(jīng)典數(shù)學(xué)理論之下，適當引進模糊子集后加以定義和展開的，因而，就像上面所分析的一樣，也都是直接奠基于精確性經(jīng)典數(shù)學(xué)之上的，應(yīng)該說，模糊數(shù)學(xué)沿著這個方向發(fā)展下去，將是有生命力和卓有成效的，道理也很清楚：我們可以時時借助于十分成熟的經(jīng)典數(shù)學(xué)方法和利用十分豐富的經(jīng)典數(shù)學(xué)成果，相信模糊數(shù)學(xué)的主流，在今后相當長一段時間內(nèi)仍是這個方向，并且仍可不斷地取得豐碩的結(jié)果2。

T模糊群模糊集的模系結(jié)構(gòu)模糊集的模系結(jié)構(gòu)指帶有序結(jié)構(gòu)的一類代數(shù)系統(tǒng)，利用它可以統(tǒng)一地描述模糊集的各種運算，設(shè)L為具有最小元0和最大元1的格，若映射 滿足以下條件：

1. ;

2.

3.若 ，則有

4.

則稱T為三角模.若三角模T滿足 ，則稱其為T模;若三角模T滿足 ，則稱其為S模.設(shè)N為L上的偽補(參見“模糊集”)，如果T模T和S模S滿足 ，則稱T與S為N對偶的，并稱 為模系.對于L模糊集A與B可定義模并、模交與補運算為：

模糊子集的并與交運算是特殊的模并與模交運算。

設(shè)FL(X)為X上所有L模糊集組成的集合，如果 是模系，則 也是模系。

T模糊群的定義T模糊群是模糊群的一種推廣。設(shè)G是群，H是G的模糊子集，T是T模，滿足：

1.對任何 ， 有

2. ；

則稱H為G的T模糊子群，簡稱T模糊群。當T=min時，T模糊群即為模糊群。

T模糊群的概念是1979年由安東尼(J.M.Authony )和舍伍德(J.M.Sherwood)引入的1。

模糊群論模糊群論是研究群的模糊性質(zhì)的科學(xué)。模糊數(shù)學(xué)與群論的交叉學(xué)科。模糊群論的研究對象是各種模糊群的結(jié)構(gòu)、性質(zhì)及其應(yīng)用。

1971年勞森弗爾德 (Rosenfold) 首先給出了模糊子廣群、模糊子群的概念，稱之為R-模糊子廣群、R-模糊子群。1979年，安東尼(Anthony) 和瑟烏德 (Shorwood) 利用T-范數(shù)重新定義了模糊群，稱之為T-模糊群。1981年戚振開利用模糊點給 出了模糊群的點態(tài)化的定義，稱之為點態(tài)化模糊群。 作為一門新興的交叉學(xué)科，模糊群論有了很大發(fā)展。模糊群論的研究內(nèi)容是十分豐富的，概括起來可分 為：①將分明群中的重要結(jié)論推廣到模糊群中；②探 索模糊群相對于分明群所特有的性質(zhì)；③尋求模糊群的應(yīng)用。雖然模糊數(shù)學(xué)的應(yīng)用觸角已伸向科技領(lǐng)域的許多方面，但模糊群論的應(yīng)用還有待研究1。

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

王沛 - 副教授、副研究員 - 中國科學(xué)院工程熱物理研究所