[科普中國(guó)]-降采樣

在數(shù)位信號(hào)處理領(lǐng)域中，降采樣，又作減采集,是一種多速率數(shù)字信號(hào)處理的技術(shù)或是降低信號(hào)采樣率的過(guò)程，通常用于降低數(shù)據(jù)傳輸速率或者數(shù)據(jù)大小。 跟插值互補(bǔ)，插值是用來(lái)增加取樣頻率。降采樣的過(guò)程中會(huì)運(yùn)用濾波器降低混疊造成的失真，因?yàn)榻挡蓸訒?huì)有混疊的情形發(fā)生，系統(tǒng)中具有降采樣功能的部分稱為降頻器。

簡(jiǎn)介降采樣因子（常用表示符號(hào)為"M"）一般是大于1的整數(shù)或有理數(shù)。這個(gè)因子表達(dá)采樣周期變成原來(lái)的M倍，或者等價(jià)表示采樣率變成原來(lái)的1/M倍。 采樣率的降低會(huì)造成頻譜的壓縮，因此需要利用濾波器確保在較低的采樣頻率下不發(fā)生混疊，確保奈奎式采樣定理依舊成立。

整數(shù)倍降采樣降采樣整數(shù)M倍的過(guò)程可以被分解成兩個(gè)部分：

利用數(shù)位低通濾波器去除訊號(hào)中的高頻成分防止混疊。

對(duì)過(guò)濾高頻后的訊號(hào)降采樣M倍，換言之，保留原訊號(hào)中間隔為M的取樣點(diǎn)

若僅少了第一個(gè)步驟，訊號(hào)的高頻成分會(huì)在降低采樣速率的過(guò)程中被混入低頻訊號(hào)中，這樣的失真效應(yīng)我們稱為混疊，因此第一個(gè)步驟是為了降低混疊影響至可以接受的程度，降采樣中的濾波器稱為反混疊濾波器，下面討論如何設(shè)計(jì)反混疊濾波器。

若用無(wú)限脈沖響應(yīng)的方法設(shè)計(jì)反混疊濾波器，則濾波的過(guò)程需要在降低采樣速率前從輸出端回傳資訊到輸入端，若用有限脈沖響應(yīng)的方法設(shè)計(jì)反混疊濾波器，濾波的過(guò)程較為簡(jiǎn)單因?yàn)槲覀冎恍枰紤]間隔為M的采樣點(diǎn)，濾波的過(guò)程表示成：

序列h[·]是數(shù)位濾波器的脈沖響應(yīng)、K是它的長(zhǎng)度，序列x[·]為要被降采樣的原始訊號(hào)的取樣點(diǎn)，一般來(lái)說(shuō)在算出y[n]后計(jì)算y[n+1]最簡(jiǎn)單的方法是讓x[·]的索引增加M然后重新計(jì)算卷積，在大部分的情況下M=2，h[·]可以被設(shè)計(jì)成半頻帶濾波器，序列h[k]中將近一半的系數(shù)為0，因此卷積的計(jì)算過(guò)程會(huì)被大大簡(jiǎn)化。

每隔M個(gè)取樣點(diǎn)取樣脈沖響應(yīng)的系數(shù)成為一個(gè)次序列，總共有M個(gè)降采樣的脈沖響應(yīng)次序列，內(nèi)積的結(jié)果是每個(gè)次序列．跟對(duì)應(yīng)的取樣點(diǎn)x[·] 內(nèi)積的總和。 此外,由于采樣周期變成M倍，每個(gè)降采樣后的次序列會(huì)獨(dú)立在每個(gè)內(nèi)積中，數(shù)列x[·] 的采樣點(diǎn)只會(huì)出一組內(nèi)積之中而不會(huì)出在其他組的內(nèi)積里，因此可以用M組有限長(zhǎng)度頻率響應(yīng)數(shù)位濾波器同時(shí)多工地算出M組內(nèi)積，M組輸出值最后平行加總。這個(gè)觀點(diǎn)提供不同的硬件實(shí)作方法，很可能適合多處理器的架構(gòu)。 換句話說(shuō)，輸入的串流經(jīng)過(guò)分工并送去M組濾波器并將輸出加總，上述的架構(gòu)稱為多項(xiàng)位濾波器。1

圖一: 3種不同的常見(jiàn)頻率單位下的降采樣頻譜效應(yīng)比較。

反混疊濾波器

我們可以從圖一的三組波型中了解為何降采樣的過(guò)程需要反混疊濾波器，注意三組波型圖除了橫軸的單位不同以外其余皆相同。 每一組波形圖的第一張圖是取樣訊號(hào)x(t)，經(jīng)過(guò)傅立葉轉(zhuǎn)換得到的周期性頻譜，X(f)；第二章圖為取樣訊號(hào)x(t)以1/3倍采樣速率降取樣后經(jīng)過(guò)傅立葉轉(zhuǎn)換得到的周期性頻譜。 對(duì)于這三組波型，混疊不發(fā)生的條件同為：T為采樣的時(shí)間間格，1/T為采樣速率，1/2T為奈奎氏取樣頻率，反混疊濾波器借由設(shè)計(jì)截止頻率小于1/M倍的奈奎氏取樣頻率確保混疊不會(huì)發(fā)生。

最上面那組圖片的上面那張圖的橫軸代表離散時(shí)間傅立葉轉(zhuǎn)換，也就是X(f)的傅立葉級(jí)數(shù)表示方式：

T的單位為秒，f的單位為赫茲。將MT取代公式中的T我們可以得到以1/M倍速率采樣后的數(shù)列的離散時(shí)間傅立葉轉(zhuǎn)換，x[nM]:

這個(gè)周期性的訊號(hào)以較低速率采樣過(guò)后，頻率跟振幅都被降低了1/M倍，如同圖一的第二張圖所示，當(dāng)X(f)與附近的波型重疊，混疊將會(huì)發(fā)生，反混疊濾波器的目的就是在于確保降采樣后周期降低但不會(huì)發(fā)生波型重疊，也就是混疊。

中間那組圖頻率f的單位改為標(biāo)準(zhǔn)化頻率，這時(shí)周期為1而0.5的位置對(duì)應(yīng)到奈奎氏取樣頻率，一般反混疊濾波器的設(shè)計(jì)會(huì)以圖形的頻率單位為標(biāo)準(zhǔn)，因此截止頻率也要改由以標(biāo)準(zhǔn)化頻率作為單位，此時(shí)截止頻率被標(biāo)準(zhǔn)化為這個(gè)值的單位為（秒/取樣）*（周期數(shù)/秒）=周期數(shù)/取樣。

最下面那組圖形為原本數(shù)列以及以低速率取樣后數(shù)列的Z轉(zhuǎn)換，受到復(fù)數(shù)變數(shù)的限制，x[n]的數(shù)列的形式為傅立葉級(jí)數(shù)，與1比較，我們推論：

這個(gè)方程式描述了圖一中第五張圖，同理，第六章圖為：

分?jǐn)?shù)倍降采樣令 M/L代表降采樣因子，M,L都是整數(shù)，M>L，分?jǐn)?shù)倍降采樣可以被分解成兩個(gè)步驟

以L倍頻率升采樣

以1/M倍頻率降采樣

升采樣需要低通濾波器過(guò)濾資料數(shù)率增加的訊號(hào)，降采樣需要低通濾波器過(guò)濾輸入訊號(hào)，因此這兩個(gè)濾波過(guò)程可以被和而為一，借由用單一個(gè)低通濾波器取代，此單一低通濾波器的截止頻率為兩者低通濾波器的低者。當(dāng)M > L, 反混疊濾波器的截止頻率（周期數(shù)/取樣）會(huì)是較低的截止頻率。。

bit/樣本) × 2 (聲道)）降低至705,600位元秒。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

曹慧慧 - 副教授 - 中國(guó)礦業(yè)大學(xué)