[科普中國]-二元小波轉(zhuǎn)換

二元小波轉(zhuǎn)換(Dyadic Wavelet Transform)是縮放以二的級數(shù)為基底且取樣過后的小波轉(zhuǎn)換，但時間沒有取樣。

背景小波變換是一種用于決定卷積的特定窗口函數(shù)，提供了將圖像分解成不同尺度組成的一種數(shù)學(xué)框架1。成百種不同的小波函數(shù)被提出用來增強或模糊特定的特征。二維的離散傅里葉變換是將圖像分解成不同全局正弦和余弦函數(shù)的和，而二維離散的小波變換是將一幅圖像在每個尺度層上分解為四個組成部分之和。小波轉(zhuǎn)換的架構(gòu)分成兩個部分，一個是小波分解（waveletanalysis），另一個是小波合成（wavelet synthesis）。小波分解首先要有一個原始數(shù)列的數(shù)據(jù)，這個原始數(shù)列是一個無窮數(shù)列。以影像壓縮為例，數(shù)列里的每個元素的值，可以是影像中每個圖點的灰階值。有了這樣的一個原始數(shù)列之后，我們要將原始數(shù)列分別進(jìn)行低頻分析濾波以及高頻分析濾波這兩個步驟。如果說我們將原始的影像，看成是由影像中具有一致性的數(shù)據(jù)以及具有高度變化性的數(shù)據(jù)，這兩種數(shù)據(jù)組合而成的話，那么我們將原始數(shù)列經(jīng)過低頻分析濾波的步驟之后，所產(chǎn)生的低頻數(shù)列，則將保留原始數(shù)列的一致性的數(shù)據(jù)，比如說人臉部特寫的影像中，臉部會有一大片區(qū)域的顏色值相近，或者是風(fēng)景照中的背景天空的一大片藍(lán)色，就是原始資料中具有一致性的部分。而我們將原始數(shù)列經(jīng)過高頻分析濾波的步驟之后，所產(chǎn)生的高頻數(shù)列，則將保留原始數(shù)列的高度變化性的數(shù)據(jù)，比如說在影像中物體的輪廓部分，邊界內(nèi)外的顏色值相差甚大，或者是有許多顏色參雜在一起的區(qū)域，都是原始數(shù)據(jù)中具有高度變化性的部分。因此小波分解的步驟其實就是將原始數(shù)據(jù)中的一致性數(shù)據(jù)與高度變化性數(shù)據(jù)分解成兩筆獨立的數(shù)據(jù)。小波合成的部分將低頻數(shù)列經(jīng)過低頻合成濾波之后的數(shù)列，與高頻數(shù)列經(jīng)過高頻合成濾波之后的數(shù)列，相加起來，就可以還原成原始的數(shù)列。

定義二元小波轉(zhuǎn)換(Dyadic Wavelet Transform)是縮放以二的級數(shù)為基底且取樣過后的小波轉(zhuǎn)換，但時間沒有取樣。的二元小波轉(zhuǎn)換的定義為2：

它也定義了一個穩(wěn)定(stable)、完整(complete)的表示式，如果它的Heisenberg boxes囊括了所有的頻率軸，也就是存在一個A和B使所有的二元小波都是L2(R)的 frame (Frames are a stable, possibly redundant, representation of signals)。

應(yīng)用快速二元小波轉(zhuǎn)換 (Fast Dyadic Wavelet Transform, FDWT) 使用與快速小波轉(zhuǎn)換(Fast Wavelet Transform)相同的濾波器來進(jìn)行轉(zhuǎn)換，但是差別在于不需要再進(jìn)行次采樣(subsampling)，時常用在擷取音樂訊號的Onset。

Matlab實現(xiàn)二元小波變換的 Matlab 實現(xiàn)：
(1) dwt 函數(shù)
功能：離散小波變換
格式：[cA,cD]=dwt(X,'wname')
[cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D)
說明：[cA,cD]=dwt(X,'wname') 使用指定的小波基函數(shù) 'wname' 對信號 X 進(jìn)行分解，cA、cD 分別為近似分量和細(xì)節(jié)分量；[cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D) 使用指定的濾波器組 Lo_D、Hi_D 對信號進(jìn)行分解。
(2) idwt 函數(shù)
功能：離散小波反變換
格式：X=idwt(cA,cD,'wname')
X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R)
X=idwt(cA,cD,'wname',L)
X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L)
說明：X=idwt(cA,cD,'wname') 由近似分量 cA 和細(xì)節(jié)分量 cD 經(jīng)小波反變換重構(gòu)原始信號 X 。
'wname' 為所選的小波函數(shù)
X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R) 用指定的重構(gòu)濾波器 Lo_R 和 Hi_R 經(jīng)小波反變換重構(gòu)原始信號 X 。
X=idwt(cA,cD,'wname',L) 和 X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L) 指定返回信號 X 中心附近的 L 個點。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

李宗秀 - 副教授 - 黑龍江財經(jīng)學(xué)院