[科普中國(guó)]-對(duì)數(shù)留數(shù)

對(duì)數(shù)留數(shù)亦稱對(duì)數(shù)殘數(shù)，是復(fù)變函數(shù)論的一個(gè)概念。如果f(z)在簡(jiǎn)單閉曲線C上解析且不為零，在C的內(nèi)部除去有限個(gè)極點(diǎn)以外也處處解析，那么對(duì)數(shù)留數(shù)等于簡(jiǎn)單閉曲線C內(nèi)零點(diǎn)與極點(diǎn)的個(gè)數(shù)之差。

概念對(duì)數(shù)留數(shù)亦稱對(duì)數(shù)殘數(shù)，是復(fù)變函數(shù)論的一個(gè)概念。

積分 稱為函數(shù)f(z)關(guān)于閉曲線Γ的對(duì)數(shù)留數(shù)。

意義對(duì)數(shù)留數(shù)這個(gè)名稱來(lái)源于

事實(shí)上對(duì)數(shù)留數(shù)就是函數(shù)f(z)的對(duì)數(shù)的導(dǎo)數(shù)在它位于C內(nèi)的孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)的代數(shù)和。

定理關(guān)于對(duì)數(shù)留數(shù)，有以下定理：

如果f(z)在簡(jiǎn)單閉曲線C上解析且不為零，在C的內(nèi)部除去有限個(gè)極點(diǎn)以外也處處解析，那么其中，N為f(z)在簡(jiǎn)單閉曲線C內(nèi)零點(diǎn)的總個(gè)數(shù)，P為f(z)在簡(jiǎn)單閉曲線C內(nèi)極點(diǎn)的總個(gè)數(shù)，且C取正向。

在計(jì)算零點(diǎn)與極點(diǎn)的個(gè)數(shù)時(shí)，m級(jí)的零點(diǎn)或極點(diǎn)算作m個(gè)零點(diǎn)或極點(diǎn)。

該定理可將函數(shù)沿閉曲線的積分的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)在閉曲線內(nèi)零點(diǎn)與極點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題。1

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)