[科普中國(guó)]-正交對(duì)角拉丁方

正交對(duì)角拉丁方(orthogonal diagonal Latin squares)是一類(lèi)特殊的正交拉丁方，若一個(gè)v階拉丁方的主對(duì)角線(xiàn)(位置(i，i)，1≤i≤v)與反對(duì)角線(xiàn)(位置(i，v+1-i)，1≤i≤v)均為截態(tài)，則稱(chēng)之為對(duì)角拉丁方。兩個(gè)正交的v階對(duì)角拉丁方記為ODLS(v)，正交對(duì)角拉丁方曾用于構(gòu)作幻方，而ODLS(v)存在的充分必要條件是v≠2，3，6，這是經(jīng)許多作者的努力，由沃利斯(W.D.Wallis)等人于1990年最后完成的1。

基本介紹設(shè)X為n元集，A為X上的r×s陣列，若同行和同列都沒(méi)有重復(fù)的元素，則稱(chēng)A為X上的一個(gè)r×s拉丁矩。特別地，當(dāng)r=s=n時(shí)，便得到一個(gè)n階拉丁方。若集X={1，2，…，n}上的n階拉丁方A=(aij)滿(mǎn)足aii=i，1≤i≤n，則稱(chēng)該拉丁方是冪等的。若A滿(mǎn)足aij=aji，1≤i≤j≤n，則稱(chēng)之為對(duì)稱(chēng)拉丁方。若一個(gè)n階拉丁方的n個(gè)位置分布在不同行及不同列且含不同的元素，則稱(chēng)這n個(gè)位置構(gòu)成該拉丁方的一個(gè)截態(tài)。若一個(gè)拉丁方的主對(duì)角線(xiàn)(位置(i，i)，1≤i≤n)及反對(duì)角線(xiàn)(位置(i，n+1-i)，1≤i≤n)均為截態(tài)，則稱(chēng)之為對(duì)角拉丁方1。

對(duì)角拉丁方是主對(duì)角線(xiàn)和反對(duì)角線(xiàn)均為截態(tài)的拉丁方。

若n階拉丁方A的轉(zhuǎn)置矩陣AT(它當(dāng)然還是一個(gè)n階拉丁方)恰好是A的正交侶，則稱(chēng)A為一個(gè)n階自正交拉丁方。例如與

是正交的，因此A(或AT)就是一個(gè)4階自正交拉丁方。自正交拉丁方的存在性問(wèn)題已于1974年最終解決，結(jié)論是：除去n=2，3，6不存在外，對(duì)任意正整數(shù)n存在自正交拉丁方2。

若n階拉丁方A的兩條大對(duì)角線(xiàn)恰是它的兩個(gè)截態(tài)，則稱(chēng)A為n階對(duì)角拉丁方，兩個(gè)n階對(duì)角拉丁方若正交，則稱(chēng)它們?yōu)?一對(duì))n階正交對(duì)角拉丁方。例如

與

就是一對(duì)5階正交對(duì)角拉丁方。一對(duì)正交的對(duì)角拉丁方的存在性問(wèn)題也已經(jīng)解決，結(jié)論與自正交拉丁方的一樣，而三個(gè)兩兩正交的n階對(duì)角拉丁方的存在性已證明除去n=2，3，4，5，6時(shí)不存在及n=10，14，15，18，21，22，26，30，33，34，46時(shí)尚未知外對(duì)其他n值均存在2。

相關(guān)研究成果一個(gè)n階拉丁方是含n個(gè)相異元素的集X上的一個(gè)n階方陣，其每一行和每一列都是X的一個(gè)置換，n階拉丁方的一條截態(tài)是位于不同行不同列的n個(gè)位置使得其中的n個(gè)元素兩兩相異，階n的截態(tài)拉丁方的主對(duì)角線(xiàn)(位置{(i,i):1≤i≤n})是一條截態(tài)，階n的對(duì)角拉丁方是一個(gè)截態(tài)拉丁方，其反對(duì)角線(xiàn)(位置((i,n+1-i):1≤i≤n})也是一條截態(tài)。

兩個(gè)n階拉丁方稱(chēng)為正交的，如果把它們迭合在一起時(shí)，第一個(gè)拉丁方的每一個(gè)記號(hào)與第二個(gè)拉丁方的每一個(gè)記號(hào)相遇一次且僅相遇一次，t個(gè)兩兩正交的n階(對(duì)角,截態(tài))拉丁方，簡(jiǎn)記作tPOLS(n) (PODLS(n)，POILS(n)),是t個(gè)兩兩正交的拉丁方,其每一個(gè)都是n階(對(duì)角,截態(tài))拉丁方。為方便計(jì)我們以記號(hào)N(n)(D(n)，I(n))記兩兩正交的n階(對(duì)角，截態(tài))拉丁方的最大個(gè)數(shù)。

t個(gè)兩兩正交的n階對(duì)角拉丁方的存在性已被許多數(shù)學(xué)工作者研究過(guò)：對(duì)于t=1，已經(jīng)證明對(duì)所有大于3的正整數(shù)n存在n階對(duì)角拉丁方；對(duì)于t= 2，已經(jīng)證明對(duì)所有大于6的正整數(shù)n存在階為n的一對(duì)正交對(duì)角拉丁方。對(duì)于t≥3，已知的結(jié)果較少。利用成對(duì)平衡設(shè)計(jì)的方法，Wallis與朱烈在給出了一些界，即當(dāng)n≥447時(shí)D(n)≥3，當(dāng)n≥511時(shí)D(n)≥4，以及當(dāng)n≥2724時(shí)D(n)≥5，漸近地中已證明當(dāng)n→∞時(shí)D(n)→∞。后來(lái)利用特異直積的方法，朱烈進(jìn)一步證明除28個(gè)可能的例外，當(dāng)n≥7時(shí)存在三個(gè)兩兩正交的n階對(duì)角拉丁方，其中118是最大可能的例外值；Wallis和朱烈進(jìn)一步證明除18個(gè)可能的例外，當(dāng)n≥7為奇數(shù)時(shí)存在四個(gè)兩兩正交的n階對(duì)角拉丁方，其中291是最大可能的例外值。

朱烈朱烈是江蘇蘇州人，現(xiàn)任蘇州大學(xué)教授，兼加拿大《組合學(xué)》雜志編委。論著有《尤拉猜想的簡(jiǎn)短證明》、《具齊位子方的正交拉丁方的存在性》、《三個(gè)兩兩正交對(duì)角拉丁方》、《具相等大小洞的相互正交拉丁方的存在性》等。

朱烈對(duì)于兩兩正交的v階對(duì)角拉丁方的最大個(gè)數(shù)作了一系列研究，利用他本人及其他學(xué)者的結(jié)果，他最后證明了，當(dāng)v≥7時(shí)，除了28個(gè)可能的例外值，存在三個(gè)兩兩正交的v階對(duì)角拉丁方。用dr記符合下述條件的最小正整數(shù)：當(dāng)v>dr時(shí)，存在r個(gè)兩兩正交的v階對(duì)角拉丁方。已知d2