[科普中國(guó)]-有限仿射空間

有限仿射空間(finite affine)是一類(lèi)組合構(gòu)形，它由q階n維射影空間PG(n，q)中去掉一個(gè)超平面而得到，記為EG(n，q)。1

基本介紹有限仿射空間EG(n，q)中一條線上含q個(gè)點(diǎn)，共有qn個(gè)點(diǎn)，任一k維子空間含qk個(gè)點(diǎn)，以EG(n，q)中的全部k維子空間作為區(qū)組，可以得到一個(gè)(qn，qk，λ)-BIBD，其中1

相關(guān)介紹仿射空間

定義1 V是數(shù)域F上的向量空間，A是一個(gè)非空集合，稱(chēng)A是V上的仿射空間，如果有一個(gè)從A×V到A的映射：(p，α) p+α具有以下性質(zhì)：

(1)對(duì)任意p∈A及V中的零向量0，p+0=p；

(2)對(duì)任意p，q∈A，存在唯一的向量α∈V，使得p+α=q；

(3)對(duì)任意p∈A，α，β∈V，p+(α+β)=(p+α)+β．

V上的仿射空間A也記作A(V)，其元素稱(chēng)為點(diǎn)。

將A(V)的維數(shù)定義為向量空問(wèn)V的維數(shù)，即dim A(V)一dim V，0維、1維、2維的仿射空間分別稱(chēng)為點(diǎn)、仿射直線、仿射平面，比如A(E2)就是一個(gè)仿射平面。

對(duì)A中的任意兩點(diǎn)p，q，都存在唯一向量α，使得p+α=q。記α為，稱(chēng)p和q為α的起點(diǎn)和終點(diǎn)，因?yàn)閜+0=p，所以=0。另外，對(duì)A中的任意三點(diǎn)p，q，r，

所以，令r=p，得。

例 1 數(shù)域F上的向量空間V也可以看成是自身上的一個(gè)仿射空間。此時(shí)，非空集合A就是V本身，V中的向量同時(shí)也看成點(diǎn)，點(diǎn)與向量的加法就定義為向量間的加法，它自然會(huì)滿(mǎn)足(1)-(3)。所以，每個(gè)向量空間同時(shí)也可視為一個(gè)仿射空間。特別地，F(xiàn)n可視為向量空間Fn上的一個(gè)仿射空間。

定義2 A是向量空間V上的n維仿射空間，A中的一個(gè)點(diǎn)0和V的一個(gè)基ε?，ε?，…，εn稱(chēng)為A的一個(gè)仿射坐標(biāo)系，記為[o；ε?，ε?，…，εn]，點(diǎn)o稱(chēng)為原點(diǎn)，向量在這個(gè)基下的坐標(biāo)稱(chēng)為點(diǎn)P的仿射坐標(biāo)2。

有限射影空間

有限射影空間是一類(lèi)組合構(gòu)形，滿(mǎn)足以下公理的有限點(diǎn)集上的關(guān)聯(lián)系統(tǒng)：1.對(duì)兩相異點(diǎn)，有且僅有一條線含這兩個(gè)點(diǎn)；2.若A，B，C是不共線的三點(diǎn)，D是含A，B的線上異于A的點(diǎn)，E是含A，C的線上異于A的點(diǎn)，則含D，E的線與含B，C的線含一個(gè)公共點(diǎn)F；3.每條線至少含三個(gè)相異點(diǎn)。

若射影空間的某個(gè)子集在含一條線上的兩個(gè)點(diǎn)時(shí)必含這條線上所有的點(diǎn)，則稱(chēng)該子集為子空間.將點(diǎn)稱(chēng)為零維子空間，線稱(chēng)為1維子空間，由此可歸納地定義子空間的維數(shù).若子空間Xn-1的維數(shù)為n-1，P是射影空間中不屬于Xn-1的一點(diǎn)，將含P及Xn-1中任一點(diǎn)的所有線上的點(diǎn)的全體記為Xn，則Xn是子空間，其維數(shù)定義為n.在n維射影空間中，2維子空間稱(chēng)為平面，n-1維子空間稱(chēng)為超平面.若某條線上含q+1個(gè)點(diǎn)，則每條線上都含q+1個(gè)點(diǎn)，此時(shí)稱(chēng)射影空間是q階的.q階n維射影空間記為PG(n，q).將q元有限域上n+1維向量空間中的一維子空間取作“點(diǎn)”，2維子空間取作“線”，便得到n維射影空間PG(n，q)的一個(gè)例子.這樣的“點(diǎn)”可用一個(gè)n+1維的非零向量(x1，x2，…，xn+1)表示，當(dāng)λ為有限域中非零元時(shí)，向量λ(x1，x2，…，xn+1)將表示同一個(gè)“點(diǎn)”.稱(chēng)(x1，x2，…，xn+1)為射影空間中點(diǎn)的齊次坐標(biāo).PG(n，q)中共有

個(gè)點(diǎn)，一個(gè)超平面含k=(qn-1)/(q-1)個(gè)點(diǎn)，若將一個(gè)PG(n，q)中所有超平面取作區(qū)組，則得到一個(gè)(v，k，λ)-BIBD，其中

當(dāng)n≥3時(shí)，PG(n，q)在同構(gòu)的意義下是惟一的，但是，當(dāng)n=2時(shí)，存在不同類(lèi)型的射影平面1。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

任毅如 - 副教授 - 湖南大學(xué)