[科普中國(guó)]-天平問題

天平問題(scales problem)是一種趣味組合計(jì)數(shù)問題。設(shè)有重量分別為a1克，a2克，…，ak克的k個(gè)砝碼，ai(i=1，2，…，k)均為整數(shù)，今要在天平上衡量重為n克的重物，問有多少種不同衡重方法1?“天平問題”在數(shù)字游戲和智力競(jìng)賽中經(jīng)常遇到，這類問題種類繁多，構(gòu)思精巧，解法獨(dú)特，對(duì)發(fā)展智力、嘏煉意志有很好的推動(dòng)作用?！疤炱絾栴}”主要有：天平挑次品類、天平一邊放砝碼類和天平兩邊放砝碼類等2。

基本介紹天平問題：設(shè)有重量分別為a1克，a2克，…，ak克的k個(gè)砝碼，ai(i=1，2，…，k)均為整數(shù)，今要在天平上衡量重為n克的重物，問有多少種不同衡重方法?

若規(guī)定砝碼只能加在天平一端，則不同方式總數(shù)An的計(jì)數(shù)生成函數(shù)是

若規(guī)定砝碼可加在天平兩端，則不同方式總數(shù)Bn的計(jì)數(shù)生成函數(shù)

例如a1=1克，a2=3克，a3=4克，a4=6克，則n=6克的不同方式B6有4種，這里砝碼放法〈天平左端，天平右端〉是：〈n，6〉，〈n+1，3+4〉，〈n+1+3，4+6〉和〈n+4，1+3+6〉，其中n表示重6克的物體1。

例題解析【例1】2002年1月1日，歐元正式在歐元區(qū)12國(guó)流通?，|瑋的爸爸從法國(guó)帶回9枚歐元硬幣，由于制造的原因，其中有一枚是次品，質(zhì)量稍微小一點(diǎn)，現(xiàn)在給你一架天平，至少稱幾次才能把它找出來2？

分析與解 先把這9枚歐元硬幣任意平均分成三堆，每堆各3枚，把其中的兩堆分剮放在天平的左右兩盤中，若天平平衡，說明次品在未放到天平的那一堆中；若天平不平衡，說明次品在質(zhì)量較小的一個(gè)盤子中。接著將混有次品的3枚歐元硬幣平均分成三堆，并將其中的兩堆分別放在天平的兩邊再稱一次，若天平平衡，說明次品在未放到天平的那一堆中；若天平不平衡，說明次品在質(zhì)量較小的一個(gè)盤子中。因此至少要稱2次。

技巧點(diǎn)撥 如果是許多物品里混有一件次品，關(guān)鍵是將所有物品任意地平均分威三堆，取其中兩堆放在天平左右盤里看是否平衡，確定有次品的一堆。再重復(fù)上面的操作，直到每堆一件，然后將三件中任意兩件放在天平左右盤里看是否平衡即可挑出哪一件是次品2。

【例2】18個(gè)外表一樣的球，有8克和7克兩種質(zhì)量，現(xiàn)在用一臺(tái)天平來測(cè)定每種球各幾個(gè)。先取兩個(gè)球，天平的兩邊各放一個(gè)，結(jié)果天平不平衡。就拿這兩個(gè)球作標(biāo)準(zhǔn)，將余下的16個(gè)球分成8對(duì)，用天平與這對(duì)標(biāo)準(zhǔn)球逐一比較，結(jié)果3對(duì)質(zhì)量較大，4對(duì)質(zhì)量較小，1對(duì)與標(biāo)準(zhǔn)球質(zhì)量一樣。那么這18個(gè)球的總質(zhì)量是多少克？

分析與解 第一次稱的兩個(gè)球，天平不平衡，就知道1個(gè)是8克，1個(gè)是7克，作為標(biāo)準(zhǔn)的一對(duì)球，質(zhì)量之和是8+7=15（克）。比標(biāo)準(zhǔn)球質(zhì)量大的一時(shí)球，一定是兩個(gè)8克的球，質(zhì)量和是16克l比標(biāo)準(zhǔn)球質(zhì)量小的一對(duì)球，一定是兩個(gè)7克的球，質(zhì)量和是14克；與標(biāo)準(zhǔn)球質(zhì)量一樣的一對(duì)球質(zhì)量是15克。因此，18個(gè)球的質(zhì)量是：

16×3+14×4+15×2=134(克)

【例3】小明家買回100個(gè)鵪鶉蛋，每袋裝10個(gè)。其中9只袋里裝的鵪鶉蛋，每個(gè)都是10克。另外一袋裝的每個(gè)都是9克。這十袋混在一起，只準(zhǔn)用天平稱一次，你能找出其中一袋裝的每個(gè)都是9克的鵪鶉蛋嗎？

分析與解 把十袋鵪鶉蛋依次編號(hào)，從第一袋內(nèi)取1個(gè)，第二袋內(nèi)取2個(gè)，第三袋內(nèi)取3個(gè)……第十袋內(nèi)取10個(gè)，放在一起稱，那么共有鵪鶉蛋1+2+3+…+10=55（個(gè)）。如果每個(gè)鵪鶉蛋都是10克，55個(gè)鵪鶉蛋應(yīng)是550克，從少的質(zhì)量中就能找到裝9克的鵝鶉蛋袋。若少1克，就是第一袋，若少5克，就是第五袋…

技巧點(diǎn)撥 如果是許多袋（箱或盒）中混有一袋（箱或盒）次品且只準(zhǔn)稱一次，可以將，分別取1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)……n個(gè)，再求出(1+2+3+…+n)個(gè)的質(zhì)量和即可挑出次品。

【例4】在天平的一端放砝碼，另一端放物體，若要稱出1～60克之間所有質(zhì)量為整數(shù)的物體的質(zhì)量，最少應(yīng)該準(zhǔn)備多少個(gè)什么樣的砝碼？

分析與解 要想稱出1克物體，必須有1克砝碼；再有一個(gè)2克砝碼，就可以稱出2克、3克的物體；第三個(gè)砝碼應(yīng)該是3+1=4（克），這三個(gè)砝碼又能稱出1～7克7種質(zhì)量；第四個(gè)砝碼應(yīng)是7+1=8（克），這四個(gè)砝碼能稱出1- 15克的不同質(zhì)量的物體；第五個(gè)砝碼是15 +1=16（克），這五個(gè)砝碼能稱出1~31克的不同質(zhì)量的物體；第六個(gè)砝碼是31+1= 32（克），這樣，就能稱出1~63克的不同質(zhì)量的物體。

所以，要稱出1～60克之間各種不同質(zhì)量的物體，至少應(yīng)準(zhǔn)備1克、2克、4克、8克、16克、32克六種砝碼各一個(gè)。

【例5】有7克、2克砝碼各一個(gè)，天平一架，如何只用這些物品三次將140克的鹽分成50克、90克各一份？

分析與解 （1）把2克的砝碼放在天平左端，分鹽于天平兩端直至平衡，此時(shí)，左端鹽的質(zhì)量為69克，右端鹽的質(zhì)量為71克；(2)取下天平左端的砝碼換上7克的砝碼，左端的質(zhì)量為69+7=76（克），右端的質(zhì)量為71克，從左端取出5克鹽后，兩端平衡，速時(shí)左端尚余64克鹽，取下天平兩端物品;(3)用剛才稱出的5克鹽當(dāng)做“砝碼”，與2克、7克砝碼合成14克砝碼，從64克鹽中取出14克，恰好剩下50克鹽，則其余鹽的質(zhì)量就是90克。

技巧點(diǎn)撥 砝碼稱質(zhì)量是常見的數(shù)學(xué)問題。不管是挑選次品，還是借助砝碼稱物體重量，都要進(jìn)行周全的考慮，可以采用簡(jiǎn)單的方法發(fā)現(xiàn)規(guī)律，在“排除”借用”的策略中找到解決問題的思路2。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)