[科普中國]-仿射擬陣

仿射擬陣(affine matroid)是一種組合構(gòu)形，它是與矩陣擬陣類似的擬陣M(E)，不同的是，這里的E是仿射空間A中的有限點(diǎn)構(gòu)成的集合，而且在A中沒有真子仿射空間可以包含E，仿射擬陣M(E)的獨(dú)立集依次為單點(diǎn)集、兩點(diǎn)構(gòu)成的線段、三點(diǎn)構(gòu)成的三角形、四點(diǎn)構(gòu)成的四面體、多點(diǎn)組成的單純形，其單純形上秩函數(shù)之值為構(gòu)成單純形的點(diǎn)數(shù)，仿射擬陣的平集，是有關(guān)點(diǎn)集的仿射包與E的交集，而它的基則是張成E的單純形1。

基本介紹定義1 記F=GF(q)是q個(gè)元素的有限域，V(n，q)為GF(q)上的n維線性空間，把V(n，q)中的全體qn個(gè)向量看作是一個(gè)n×q?矩陣A的列向量，我們就得到了一個(gè)域F上的向量擬陣MGF(q)[A]，這個(gè)擬陣通常也記作V(n，q)。

設(shè){v?，v?，…，vm}是V(n，F(xiàn))的一個(gè)可重復(fù)子集合。若m>0，且存在不全為零的數(shù)量a?，a?，…，am∈F滿足

和

則稱{v?，v?，…，vm}是在F上仿射相關(guān)的(affinely dependent)，若{v?，v?，…，vm}不是仿射相關(guān)的，則稱{v?，v?，…，vm}是在F上仿射無關(guān)的(affinely independent)。

定義2設(shè){v?，v?，…，vm}?V(n，F(xiàn))是一個(gè)可重復(fù)的向量集，又設(shè)E是{v?，v?，…，vm}的標(biāo)號(hào)集合。定義

={ 所標(biāo)記的向量是在F上仿射無關(guān)的}，

則 滿足獨(dú)立集公理(I1)-(I3)（見下文），從而(E， )是個(gè)擬陣，稱為一個(gè)仿射擬陣(affine matroid))。

證明 記每個(gè)vi為n維列向量，定義矩陣(其列也為E所標(biāo)記)

為F上的(n+1)×m矩陣，其中A的第一行的每一個(gè)元素都是F的乘法單位元。從仿射相關(guān)的定義可知，對(duì)每個(gè)子集X?E， X所標(biāo)記的向量是在F上仿射相關(guān)的充分必要條件是X所標(biāo)記的A的列向量是在向量空間V(n+1，F(xiàn))中是線性相關(guān)的，因此 滿足獨(dú)立集公理(I1)， (I2)和(I3)。

定義3當(dāng)F是個(gè)有限域時(shí)，由V(n，F(xiàn))中全體向量組成的仿射擬陣稱為一個(gè)仿射幾何(affine geometry)，記作AG(n，F(xiàn))。若|F|=q，通常AG(n，F(xiàn))也記為AG(n，q)。

從定義可知，仿射擬陣一定不含有環(huán)，但卻可以有平行元素，因此一個(gè)仿射擬陣不一定是個(gè)簡單擬陣。

一個(gè)擬陣(matroid)M是一個(gè)有序?qū)?E， )，其中E且是一個(gè)有限集合， ?2E是E中子集的集合，它們滿足以下的公理：

(I1)?∈ 。

(I2)若I∈ ，及I'?I，則I'∈ 。

(I3)若I?，I?∈ 且|I?|