[科普中國(guó)]-諧波小波變換

諧波小波轉(zhuǎn)換（Harmonic Wavelet Transform）為學(xué)者大衛(wèi)?紐蘭德（David E. Newland）于1993年所提出，是一個(gè)以小波為基底的線(xiàn)性轉(zhuǎn)換，得以將信號(hào)變換至?xí)r頻域（Time-Frequency Domain）上。諧波小波轉(zhuǎn)換結(jié)合了短時(shí)距傅立葉變換和連續(xù)小波轉(zhuǎn)換兩者之優(yōu)點(diǎn)的信號(hào)分析工具，而其離散版本則可以用快速傅立葉變換做有效率的運(yùn)算。

基礎(chǔ)推理考量一個(gè)偶對(duì)稱(chēng)的實(shí)數(shù)函數(shù)，其傅立葉變換定義為：

則透過(guò)反傅立葉變換，我們可以得到該函數(shù) {\displaystyle w_{e}(x)} {\displaystyle w_{e}(x)}為：

而考量另一奇對(duì)稱(chēng)的函數(shù) ，若定義其傅立葉變換為：

則其反傅立葉變換會(huì)得到為：

假如結(jié)合和，透過(guò) 的關(guān)系，我們會(huì)得到一復(fù)數(shù)函數(shù)，并定義它為諧波小波（Harmonic Wavelet）。本諧波小波將為以下數(shù)學(xué)形式：

也由于傅立葉轉(zhuǎn)換的特性和}， 的定義，諧波小波的傅立葉轉(zhuǎn)換對(duì)為：

一系列的諧波小波接著，考量到小波轉(zhuǎn)換中的精神－－母小波的縮放（Dilation）和平移，透過(guò)伸張方程式（Dilation Equation）我們可以寫(xiě)出一系列的諧波小波（其中 和 皆為整數(shù)）：

根據(jù)前文對(duì)的定義，或是透過(guò)直接計(jì)算傅立葉轉(zhuǎn)換對(duì)，我們也可以得到縮放和平移后的一系列諧波小波在頻域上的表示法：

而若我們將不同的正整數(shù)帶入上式，例如和 ，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)后者的振幅會(huì)是前者的一半，然而其頻帶寬會(huì)是前者的兩倍。這樣的特性使得每一階（Level，對(duì)應(yīng)到不同的）的諧波小波，其頻域?qū)㈦S著階數(shù)越高而越寬，由是達(dá)到多分辨率的效果1。

低頻頻帶與正交隨著 的階數(shù)比0越來(lái)越小，頻帶的振幅將越來(lái)越高、越來(lái)越窄，一路向頻率為0的位置延伸。而根據(jù)多分辨率分析的理論，我們可以將這些階數(shù)小于0的頻帶全部收為一個(gè)頻帶，并定義為-1階（）。它涵蓋了DC到 的頻帶范圍。以小波轉(zhuǎn)換的術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)，這樣具低通濾波性質(zhì)的函式，被稱(chēng)之為縮放函數(shù)（Scaling Function），又稱(chēng)為父小波（Father Wavelet）。諧波小波的縮放函數(shù)定義為：

，其頻域特性將是一個(gè)介于 的方波，振幅為

若要證明諧波小波有正交的特性，必須分兩個(gè)層次討論，（不同階的諧波小波）和 （不同位移量）。首先討論不同階的諧波小波。根據(jù)傅立葉理論，若兩任意階數(shù)的諧波小波正交，它將有下列關(guān)系（參考David Newland，1993）：

因?yàn)槿我怆A數(shù)之諧波小波其頻譜皆分布在正頻率軸，故 永遠(yuǎn)為0。我們還必須證明下式也成立：

而因?yàn)椴煌A數(shù)之諧波小波其頻帶不相交，故上式的右式也為0，由是證明不同階數(shù)諧波小波的正交特性。至于同階數(shù)、不同位移量的諧波小波，因?yàn)楦盗⑷~變換的特性，在時(shí)域的位移相當(dāng)于在頻域的訊號(hào)必須乘上一個(gè)線(xiàn)性相位，因此對(duì)位移之諧波小波來(lái)說(shuō)，必須滿(mǎn)足下式：

當(dāng)k不為0的時(shí)候，上式將會(huì)成立。換言之，當(dāng)具有位移存在時(shí)，諧波小波正交的特質(zhì)成立。最后，我們也可以用相似的證明方式，證明諧波小波之父小波也具有正交特性。

短時(shí)距傅里葉變換與連續(xù)小波轉(zhuǎn)換短時(shí)距傅里葉變換是傅里葉變換的一種變形，用于決定隨時(shí)間變化的信號(hào)局部部分的正弦頻率和相位。實(shí)際上，計(jì)算短時(shí)傅里葉變換(STFT)的過(guò)程是將長(zhǎng)時(shí)間信號(hào)分成數(shù)個(gè)較短的等長(zhǎng)信號(hào)，然后再分別計(jì)算每個(gè)較短段的傅里葉變換。通常拿來(lái)描繪頻域與時(shí)域上的變化，為時(shí)頻分析中其中一個(gè)重要的工具。

連續(xù)小波轉(zhuǎn)換(Continuous Wavelet Transform)是一種用來(lái)分解一個(gè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)，使它變成數(shù)個(gè)小波(wavelet)。跟傅里葉變換(Fourier Transform)不一樣的是，連續(xù)小波轉(zhuǎn)換可以建構(gòu)一個(gè)具有良好時(shí)域和頻域局部化的時(shí)頻訊號(hào)。以數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，一個(gè)有連續(xù)時(shí)間性質(zhì)且可積分的函數(shù) 可以用下面的積分來(lái)表示

為小波母函數(shù)(Mother Wavelet)，一個(gè)在時(shí)間領(lǐng)域和頻率領(lǐng)域都有連續(xù)性質(zhì)的函數(shù)，為平移位置而 為縮放因子。小波母函數(shù)的用途在于提供一個(gè)可以產(chǎn)生子波(Daughter Wavelet)的根源函數(shù)，而子波是小波母函數(shù)平移過(guò)或縮放過(guò)(或兩者都有)的版本。如果要將已知且存在的訊號(hào)恢復(fù)原來(lái)的形式，我們可以用反轉(zhuǎn)連續(xù)小波轉(zhuǎn)換(Inverse Continuous Wavelet Transform)

為 的雙效函數(shù)(Dual Function)。 而這個(gè)雙效函數(shù)必須滿(mǎn)足

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

何星 - 副教授 - 上海交通大學(xué)