[科普中國]-有補(bǔ)格

有補(bǔ)格(complemented lattice)亦稱有余格，是一種特殊的有界格，在有界格〈L，≤〉中，對于L中的任意元素a，如果存在b∈L，使得a+b=1，a·b=0，則稱元素b是元素a的補(bǔ)元。如果一個有界格的每個元素都至少存在一個補(bǔ)元，則此格稱為有補(bǔ)格。補(bǔ)元是對稱的，如果a是b的補(bǔ)元，則b也是a的補(bǔ)元，也可以說，a和b這兩個元素是互補(bǔ)的，對于任一元素a∈A，可以存在多個補(bǔ)元，也可以不存在補(bǔ)元1。

基本介紹設(shè)是有界格,a,b是L中的兩個元，若a∨b=1,a∧b=0，則稱a是b的補(bǔ)元或b是a的補(bǔ)元，或稱a和b互為補(bǔ)元2。

一般地說，有界格中的元素不一定有補(bǔ)元，一個元素有補(bǔ)元也不必是唯一的。例如圖1所示的格中，a沒有補(bǔ)元，b有兩個補(bǔ)元，它們是d和c。

在圖2所示的格中，每個元素有且僅有一個補(bǔ)元，其中a和a'，b和b'，c和c'，0和1是四對互補(bǔ)的元素。

顯然，在有界格中，0是1的唯一補(bǔ)元，1是0的唯一補(bǔ)元。

有補(bǔ)格在一個有界格中，如果每個元素都至少有一個補(bǔ)元，則稱此格為有補(bǔ)格(Complemented Lattice)。對于任一元素a∈A，可以存在多個補(bǔ)元，也可以不存在補(bǔ)元。例如，在上圖所示的有界格中，因?yàn)閐∨c=1和d∧c=0，所以d和c是互補(bǔ)的，但b沒有補(bǔ)元，而a和d都是e的補(bǔ)元2。

【例1】圖4所示的格是有補(bǔ)格，其中a和b，a和d, c和b, c和d是四對互補(bǔ)的元素，圖5所示的格也是有補(bǔ)格，其中a，b，c, d四個元素中任意兩個都是互補(bǔ)元2。

相關(guān)定理定理1設(shè)是有界格且是分配格，a∈L，若a在L中有補(bǔ)元，則必是唯一的。

證明若b和c都是a在L中的補(bǔ)元，則有avb=1，a∧b=0，a∨c=1,a∧c= 0。

由于b=c，所以a的補(bǔ)元唯一。

因此,有補(bǔ)分配格中毎一個元素有且只有一個補(bǔ)元，于是，若是有補(bǔ)分配格，是它透導(dǎo)的代數(shù)系統(tǒng),則可在L中定義一種“補(bǔ)”的一元送算"－",對L中的任意一個元素a, 表示a的補(bǔ)元，這樣由有補(bǔ)分配格秀導(dǎo)的代數(shù)系統(tǒng)也記為或,其中0, 1分別是最小元和最大元。

定理2 設(shè)是有補(bǔ)分配格誘導(dǎo)的代數(shù)系統(tǒng),則對a,b∈L有 =a,

證明 由補(bǔ)元的定義可知, a和 是互補(bǔ)的,就是說 的補(bǔ)元是a，所以 =a,由

(a∨b)∨(∧)=((a∨b)∨)∧((a∨b)∨)

= (b∨(a∨))∧(a∨(b∨)=(b∨1)∧(a∨1)=1∧1= 1

和

(a∨b)∧( ∧)=(a∧( ∧))∨(b∧( ∧))=((a∧)∧)∨((b∧)∧)

= (0∧ )∨(0∧)=0∨0=0

可知a∨b的補(bǔ)元位∧,因?yàn)橛醒a(bǔ)分配格中任一元素的補(bǔ)元是唯一的, 所以 。

同理可證。

定義 有補(bǔ)分配格稱為布爾格2。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

孫和軍 - 副教授 - 南京理工大學(xué)