[科普中國]-有界格

有界格是具有最大元與最小元的格，通常以0，1分別記最小元與最大元.有限個元素a1，a2，…，an所構(gòu)成的格是有界格，其最小元是a1·a2·…·an，最大元是a1+a2+…+an1。

基本介紹設(shè)S是格，如果存在元素a∈S，對于任意的x∈S，都有a?x，則稱a為格S的全下界；如果存在元素b∈S，對于任意的b∈S，都有x?b，則稱b為格S的全上界。

定理 設(shè)S是格，若格S存在全下界或全上界，則一定是唯一的。

證明先證明全下界若存在，則必定唯一。

假設(shè)格S有全下界a和b，a，b∈S，根據(jù)全下界的定義有a?b和b?a。再根據(jù)偏序關(guān)系?的反對稱性，必有a=b。即全下界唯一。

同理可證全上界若存在必唯一。

由于全上界和全下界的唯一性，一般將格S的全下界記為0，全上界記為1。

有界格 設(shè)S是格，若S存在全下界和全上界，則稱該格為有界格，并將S記為(S，∨，∧，0，1)。

【例1】設(shè)S是一個集合，則S的冪集格P(S)是有界格，其中空集?是全下界，集合S是全上界。

【例2】 (1)設(shè)A是有限集合，則的零元是?，單元是A。

(2)在正整數(shù)集合Z、關(guān)于整除關(guān)系構(gòu)成的格中，零元是1，無單元。

(3)在整數(shù)集合Z關(guān)于小于等于關(guān)系構(gòu)成的格中，無零元，無單元2。

定理定理1 任何有限格一定是有界格。

定理2 設(shè)S是一個有界格，則對任意的a∈S有2

a∧1=1，a∧1=a，a∨0=a，a∧0=0。

證明

因為a∨1∈S，且1是全上界，所以a∨1?1，又因為1?a∨1，因此a∨1=1。

因為a?a，a?1，所以口a?a∧1，又因為a∧1?a，因此a∧1=a。類似可證其余二式成立2。

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

孫和軍 - 副教授 - 南京理工大學(xué)