[科普中國(guó)]-比恩代數(shù)

比恩代數(shù)(Byrne algebra)是布爾代數(shù)的一種變形，是由比恩(Byrne)提出的一個(gè)公理系統(tǒng)〈B，·，′，0〉，其中B是集合，**·**是B上一個(gè)二元運(yùn)算， ′ 是B上的一個(gè)一元運(yùn)算，0是B中元素1。

基本介紹布爾代數(shù)的公理系統(tǒng)很多，下面的公理系統(tǒng)是Byrne提出的公理系統(tǒng)演變而來(lái)的。

比恩代數(shù)是由比恩提出的一個(gè)公理系統(tǒng)〈B，·，′，0〉(其中B是集合，**·**是B上二元運(yùn)算，′是B上一元運(yùn)算，0是B中元素)，比恩代數(shù)滿足下列公理：

1.對(duì)任何x，y∈B有x·y=y·x.

2.對(duì)任何x，y，z∈B，有

x·(y·z)=(x·y)·z.

3.x·x=x.

4.x·y′=0?x·y=x.

5.0≠0′.

這個(gè)公理系統(tǒng)與布爾代數(shù)〈B，+，·，′，0，1〉存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，這只要在比恩公理系統(tǒng)中定義：1為0′，x+y為(x′·y′)′，x≤y當(dāng)x·y=x，即可證明：對(duì)任意一個(gè)布爾代數(shù)〈B，+，·，′，0，1〉，代數(shù)系統(tǒng)〈B，·，′，0〉是比恩代數(shù);反過(guò)來(lái)，對(duì)任一個(gè)比恩代數(shù)〈B，·，′，0〉，代數(shù)系統(tǒng)〈B，+，·，′，0，1〉是一個(gè)布爾代數(shù)1。

相關(guān)定理比恩代數(shù)〈B，·，′，0〉中的二元運(yùn)算在有的書(shū)籍上也用“∧”表示，下文我們就用〈B，∧，′，0〉表示比恩代數(shù)。

對(duì)任意一個(gè)布爾代數(shù)〈B，∧，∨，′，0，1〉， 結(jié)構(gòu)〈B，∧，′，0〉是Byrne代數(shù)，下面的定理建立了逆命題2。

定理1 對(duì)于任一Byrne代數(shù)〈B，∧，′，0〉，結(jié)構(gòu)〈B，∧，∨，′，0，1〉是一個(gè)布爾代數(shù)。顯然，

(a)x∧x'=0

(b) x∧y' =0?x≤y

(c) x≤x

(d) x≤y&y≤x→x=y

(e)x≤y&y≤z→x≤z :

(f)x∧y≤x

(g) x∧0=0

(h)x"=x

(i)x∧y= (x'∨y')'

(j)x∨y=y∨x

(k)x∨( y∨z)= (x∨y)∨z

(l)x∨x=x

(m) x≤y?y'≤x'

(n)x∨y'=1?x∨y=x

(o)對(duì)偶性:用Byrne代數(shù)語(yǔ)言(即使用符號(hào)∧, ', 0)表示的任何定理，當(dāng)用∨代替∧，用1代替0時(shí)，変成為另一定理，在這個(gè)代換下，所定義的x∨y〈即(x'∧y')')変成(x'∨y')',即(x∧y)，所定義的1 (即0' )變成1'，由(h)它等于0，所以在相座的布尓代數(shù)中，一個(gè)定理的對(duì)偶也是一個(gè)定理。

(p)x≤y?x∨y=y(因此x≤y的對(duì)偶等價(jià)于y≤x)。

(q)x∧1=x

(r)x∨0=x

(s)x∨x'=1

(t) x≤x∨y

(u)x∨(x∧y)=x∧(x∨y)=x

(v)x≤y→( x∧z≤y∧z&x∨z≤y∨z )

(w) (x≤z&y≤z)→x∨y≤z

(x) (z≤x&z≤y )→z≤x∧y

(y)x∧( x'∨y ) =x∧y

(z1)x∧( y∨z)= (x∧y)∨(x∧z)

(z2)x∨(y∧z)=(x∨y)∧(x∨z)

(z3)布尓代數(shù)的公理(1)一(9)成立2。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

孫和軍 - 副教授 - 南京理工大學(xué)