[科普中國(guó)]-分配格

分配格是一種組合構(gòu)形，它是滿足下述條件的格：對(duì)于格的任意元素x，y和z，均有x∧(y∨z)=(x∧y)∨(x∧z)。由于格中結(jié)運(yùn)算和交運(yùn)算的對(duì)稱性，上述條件等價(jià)于x∨(y∧z)=(x∨y)∧(x∨z)，當(dāng)L為分配格時(shí)，交運(yùn)算對(duì)于結(jié)運(yùn)算滿足分配律，而且反之亦真。布爾格、除數(shù)格、理想格、鏈等均為分配格。

基本介紹分配格是格論中重要的一類格，設(shè)L是格，對(duì)任意x，y，z∈L，若下列條件之一成立：

L6 (x∧y)∨(y∧z)∨(z∧x)=(x∨y)∧(y∨z)∧(z∨x)(自對(duì)偶中值定律);

L6′ x∧(y∨z)=(x∧y)∨(x∧z);

L6" x∨(y∧z)=(x∨y)∧(x∨z) (分配律);

L6''' (x∨y)∧z≤x∨(y∧z);

則稱L為分配格，L6′和L6"是格論中最重要的恒等式，稱為分配恒等式或分配律，它們是戴德金(J.W.R.Dedekind)研究數(shù)域理想時(shí)發(fā)現(xiàn)的，格L是分配的當(dāng)且僅當(dāng)L不含菱形格和五邊形格。1951年，肖蘭德(M.Sholander)用兩個(gè)恒等式：x∧(x∨y)=x和x∧(y∨z)=(z∧x)∨(y∧x)表征了分配格。分配格的對(duì)偶格、子格、直積仍是分配格。分配格的理論是格論的起源和基礎(chǔ)，它對(duì)格論的研究、發(fā)展和應(yīng)用起了重大的作用1。

定義 設(shè)S是格，如果格S中的運(yùn)算∨和∧滿足分配律，即對(duì)任意a，b，c∈S，有

a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)，

a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c)，

則稱S為分配格2。

舉例分析例1 設(shè)S是一個(gè)集合，則是由格所誘導(dǎo)的代數(shù)系統(tǒng)。由集合的并對(duì)交和交對(duì)并都適合分配律知，格是分配格3。

例2 如圖1所示的兩個(gè)格都不是分配格。

這是因?yàn)閳D1(a)中，b∨(c∧d)=b∨e=b，而(b∨c)∧(b∨d)=a∧a=a，

所以 b∨(c∧d)≠(b∨c)∧(b∨d)。

在圖1(b)中，c∧(b∨d)=c∧a=c，而(c∧b)∨(c∧d)=e∨d=d，

所以 c∧(b∨d)≠(c∧b)∨(c∧d)。

應(yīng)該注意的是，在分配格的定義中，必須是對(duì)任意的a，b，c∈S都要滿足分配

律。因此，決不能因驗(yàn)證格中的某些元素滿足分配等式就斷定這個(gè)格是分配格。

如圖1(b)所示的格雖不是分配格，但也有

d∧(b∨c)=d∧a=d=e∨d=(d∧b)∨(d∧c)

b∧(c∨d)=b∧c=e=e∧e=(b∧c)∨(b∧d)。

圖1給出的兩個(gè)具有五個(gè)元素的不是分配格的格是很重要的，因?yàn)榭梢宰C明如下的結(jié)論：一個(gè)格是分配格的充要條件是該格中沒有任何子格與圖1給出的兩個(gè)五元素中的任何一個(gè)同構(gòu)3。

相關(guān)定理分配格有類似模格的判定條件2。

定理1 一個(gè)格S是分配格，當(dāng)且僅當(dāng)S中不含有與鉆石格或五角格同構(gòu)的子格。

定理2 每個(gè)鏈?zhǔn)欠峙涓瘛?/p>

證明設(shè)偏序集(S，?)是鏈。先證明(S，?)是格。

任取a，b∈S，根據(jù)鏈的定義，S中任意兩個(gè)元素都有偏序關(guān)系，即a?b或b?a。不妨設(shè)a?b，則a∨b=b，a∧b=a，所以a∨b∈S，a∧b∈S，從而(S，?)是格。

下面證明(S，?)是分配格。任取a，b，c∈S，只要討論以下兩種情況：

(1)b?a且c?a。

在此情況下，有b∨c?a，b∧c?a，因此a∧(b∨c)=b∨c，a∨(b∧c)=a。又因?yàn)閎?a，c?a，所以a∧b=b，a∧c=c，a∨b=a，a∨c=a，從而(a∧b)∨(a∧c)=b∨c，(a∨b)∧(a∨c)=a∧a=a。于是有a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)，a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨C)。

(2)a?b或a?c。

在此情形下，有a?b∨C。不妨設(shè)a?b，則a∧(b∨c)=a，且a∧b=a，于是有(a∧b)∨(a∧c)=a∨(a∧c)=口，從而a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)。又由a?b可得a∨b=b，a∧b=a，從而(a∨b)∧(a∨c)=b∧(a∨c)=(b∧a)∨(b∧c)=a∨(b∧c)。

綜上所述，(S，?)是分配格。

定理3 設(shè)S是一個(gè)分配格，那么，對(duì)于任意的a，b，c∈S，如果有b∨b=a∨c和a∧b=a∧c成立，則必有b=c。

**證明:**由于S是分配格，且已知a∨b=a∨c，a∧b=a∧c，因此b=b∧(a∨b)=b∧(a∨c)=(b∧a)∨(b∧c)=(a∧b)∨(b∧c)=(a∧c)V(b∧c)=(a∨b)∧c=(a∨c)∧c=c。即有b=c，定理得證。

定理4 分配格必定是模格。

證明設(shè)S是一個(gè)分配格。對(duì)于任意的a，b，c∈S，如果b?a，則a∧b=b。因此2

a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)=b∨(a∧c)，從而S是模格。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

孫和軍 - 副教授 - 南京理工大學(xué)