[科普中國(guó)]-光滑泛函

在數(shù)學(xué)和理論物理中，泛函導(dǎo)數(shù)是方向?qū)?shù)的推廣。后者對(duì)一個(gè)有限維向量求微分，而前者則對(duì)一個(gè)連續(xù)函數(shù)（可視為無(wú)窮維向量）求微分。它們都可以認(rèn)為是簡(jiǎn)單的一元微積分中導(dǎo)數(shù)的擴(kuò)展。數(shù)學(xué)里專門研究泛函導(dǎo)數(shù)的分支是泛函分析。

簡(jiǎn)介在數(shù)學(xué)和理論物理中，泛函導(dǎo)數(shù)是方向?qū)?shù)的推廣。后者對(duì)一個(gè)有限維向量求微分，而前者則對(duì)一個(gè)連續(xù)函數(shù)（可視為無(wú)窮維向量）求微分。它們都可以認(rèn)為是簡(jiǎn)單的一元微積分中導(dǎo)數(shù)的擴(kuò)展。數(shù)學(xué)里專門研究泛函導(dǎo)數(shù)的分支是泛函分析。1

定義設(shè)有流形M代表（連續(xù)/光滑/有某些邊界條件等的）函數(shù) φ 以及泛函F：

則F的泛函導(dǎo)數(shù)，記為是一個(gè)滿足以下條件的分布：

對(duì)任何測(cè)量函數(shù)f：

用的一次變分代替就得到F的一次變分；

在物理學(xué)中，通常用狄拉克δ函數(shù){\displaystyle \delta (x-y)}，而不是一般的測(cè)試函數(shù){\displaystyle f(x)}, 來(lái)求出點(diǎn){\displaystyle y}處的泛函導(dǎo)數(shù)(這是整個(gè)泛函變分的關(guān)鍵點(diǎn)，就像偏導(dǎo)數(shù)是梯度的一個(gè)分量):

這適用于可以展開成的級(jí)數(shù)時(shí) (或者至少能展為1階). 但是這一表達(dá)在數(shù)學(xué)上并不嚴(yán)格，因?yàn)?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/HFwrjISFCs08UqN2PL1ALK12HA672ZGXIH3k.jpg" alt="" />一般而言并未定義。1

正式表述通過(guò)更仔細(xì)地定義函數(shù)空間，泛函導(dǎo)數(shù)的定義可以更準(zhǔn)確、正式。例如，當(dāng)函數(shù)空間是一個(gè)巴拿赫空間時(shí), 泛函導(dǎo)數(shù)就是著名的Fréchet導(dǎo)數(shù), 而這在更一般的局部凸空間上使用加托導(dǎo)數(shù)。注意，著名的希爾伯特空間是巴拿赫空間的特例。更正式的處理允許將普通微積分和數(shù)學(xué)分析的定理推廣為泛函分析中對(duì)應(yīng)的定理，以及大量的新定理。1

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

任毅如 - 副教授 - 湖南大學(xué)