[科普中國]-三角代換

三角代換是指利用三角函數(shù)的性質(zhì)將代數(shù)或幾何問題轉(zhuǎn)化成三角問題。

基本內(nèi)容三角代換是利用三角函數(shù)的性質(zhì)將代數(shù)或幾何問題轉(zhuǎn)化成三角問題，使題目得以突破的解題方法。實質(zhì)是換元思想，體現(xiàn)了“三角”是數(shù)學中的工具的特征，恰當?shù)乩萌谴鷵Q有助于培養(yǎng)學生聯(lián)想和類比的能力。1

常見設元類型在許多三角問題的求解中，合理的運用代換方法解題，將會使求解過程簡單化，甚至使一些很難求的問題快速求解。常見的三角代換類型如下：

1.如果條件中有 ，則可設 ， ；

2.如果條件中有 或者 ，則可設 ， ；

3.如果條件中有 ，則可設 ；

4.如果條件中有 ，則可設 ；

5.如果條件中有，則可設 且；

作用解題的成功要靠正確思路的選擇，要靠從可以接近它的方向去攻擊堡壘。解題過程就是不斷地將未知轉(zhuǎn)化為已知的過程。而“三角代換法”則是實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的重要手段之一。

它的策略思想是：根據(jù)題目的結構特征，引進三角代換，利用三角知識解題的一種方法。用這種方法解某些數(shù)學題，往往能化繁為簡，變難為易，得到簡捷合理的解題途徑。2

舉例例1.已知，求的最小值。

解：設，，。

則；

所以原式最小值為7。

例2.求的值域。

解：設，；

則，，所以，即。

教學應用在三角代換的數(shù)學教學中可以采用“探究法”。“探究法”的精髓在于以學生為主角，使他們由被動地接受知識轉(zhuǎn)變?yōu)橹R的探索者。通過親自動手，積極思考，熱烈討論，探索知識，學生能更加深入理解知識的內(nèi)涵，并培養(yǎng)觀察力、思維能力、動手能力、歸納能力、語言表達能力和創(chuàng)造能力等?！疤骄渴浇虒W法 ”是指在老師的指導下 ，學生通過具體的操作，親自嘗試后，經(jīng)過積極思考和討論，找到知識的規(guī)律，總結出結論，學會新知，并發(fā)展思維、培養(yǎng)能力的綜合教學方法。通過引入三角代換，將所給問題轉(zhuǎn)化為含有角的問題，然后運用三角函數(shù)的變換和性質(zhì)進行求解。三角代換法是一種實用有效的解題方法，同時具有技巧性強的特征，從中拓展學生思維、提高學生獨立思考的能力。3

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

任毅如 - 副教授 - 湖南大學