[科普中國]-右連續(xù)

右連續(xù)是指函數(shù)在一點(diǎn)右側(cè)連續(xù)，若一元函數(shù)f在x0處的右極限為f(x0)，即f(x0+0)=f(x0)，則稱f在x0處右連續(xù)。函數(shù)f在x0處右連續(xù)是函數(shù)f在x0處連續(xù)的必要不充分條件。當(dāng)函數(shù)f在x0處既左連續(xù)又右連續(xù)時(shí)，函數(shù)f在x0處連續(xù)1。

基本介紹由函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0左極限與右極限的定義，立即得到函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0左連續(xù)與右連續(xù)的定義。

如果 ，則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0左連續(xù)；

如果 ，則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0右連續(xù)。

由極限的充分必要條件易得：函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)的充分必要條件是：函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0既左連續(xù)，又右連續(xù)，即

函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義，很自然地可以推廣到一個(gè)區(qū)間上。

如果f(x)在區(qū)間I上的每一點(diǎn)處都連續(xù)，就稱f(x)在I上連續(xù)，并稱f(x)為I上的連續(xù)函數(shù)；若I包含端點(diǎn)，那么f(x)在左端點(diǎn)連續(xù)是指右連續(xù)，在右端點(diǎn)連續(xù)是指左連續(xù)。

由極限的運(yùn)算法則可知，常值函數(shù)f(x)=C(C為常數(shù))在實(shí)數(shù)軸上任意一點(diǎn)x0都是連續(xù)的，多項(xiàng)式函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)上是連續(xù)的，即

有理分式函數(shù) 在分母Q(x)≠0的點(diǎn)是連續(xù)的，即有理分式函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的2。

例題解析【例1】討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性。

解 在x=0處，f(x)有定義，且f(0)=0，

因?yàn)?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/uxNJBzXYIVky7rfjipWb2cvcCHtMQs0kLyYM.jpg" alt="" />，所以f(x)在x=0處左不連續(xù)；

因?yàn)?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/fcxB9Zc3w8RPEwFRwQgyFOBMzEQc2cxCyyA5.jpg" alt="" />，所以f(x)在x=0處右連續(xù)。

因此，根據(jù)上述函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)的充要條件知，函數(shù)f(x)在x=0處不連續(xù)。

在x=1處，f(x)有定義，且f(1)=1，

因?yàn)?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/FoFmAv1Py4pkfHRKhJ7thpXGqblHJH74Vsph.jpg" alt="" />，所以f(x)在x=1處左連續(xù)；

因?yàn)?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/A1rnrCKCQH7aI1RDVxz3NP03PpNe4K8OesZu.jpg" alt="" />，所以f(x)在x=1處右連續(xù)。

因此，根據(jù)上述函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)的充要條件知，函數(shù)f(x)在x=1處連續(xù)3。

【例2】證明 在x=0點(diǎn)連續(xù)。

證明 又f(0) =0，

故f(x)=|x|在x=0點(diǎn)連續(xù)2。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)