[科普中國(guó)]-任意子

任意子是數(shù)學(xué)和物理學(xué)中的一個(gè)概念。它描述一類(lèi)只在二維系統(tǒng)中出現(xiàn)的粒子。它是對(duì)費(fèi)米子和玻色子概念的廣義化。

物理學(xué)在石墨烯、量子霍爾效應(yīng)等二維物理系統(tǒng)中任意子這個(gè)數(shù)學(xué)概念變得越來(lái)越有用。 在三維以上的空間里，粒子根據(jù)其統(tǒng)計(jì)特性的不同只能是費(fèi)米子或者是玻色子。費(fèi)米子遵從費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)，玻色子遵從玻色-愛(ài)因斯坦統(tǒng)計(jì)。在量子力學(xué)中這些統(tǒng)計(jì)是根據(jù)多粒子狀態(tài)下粒子交換的反應(yīng)來(lái)描寫(xiě)的。使用狄拉克符號(hào)在兩粒子狀態(tài)中為：

其中 中的第一項(xiàng)是第一個(gè)粒子的狀態(tài)，第二項(xiàng)是第二個(gè)粒子的狀態(tài)。因此公式的左側(cè)的意思是“粒子一在 狀態(tài)和粒子二在 狀態(tài)”。加號(hào)相應(yīng)于兩個(gè)粒子都是玻色子，減號(hào)相應(yīng)于兩個(gè)粒子都是費(fèi)米子（玻色子和費(fèi)米子混合的狀態(tài)是不可能的）。

1977年奧斯陸大學(xué)的兩名學(xué)者證明在二維系統(tǒng)中準(zhǔn)粒子可以連續(xù)地遵循費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)和玻色-愛(ài)因斯坦統(tǒng)計(jì)之間的任何統(tǒng)計(jì)。使用上面兩粒子系統(tǒng)的例子其公式為：

是復(fù)數(shù)計(jì)算中的虛數(shù)單位， 是一個(gè)實(shí)數(shù)。 ， 和 。假如 我們獲得費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)（負(fù)號(hào)），假如 我們獲得玻色-愛(ài)因斯坦統(tǒng)計(jì)（正號(hào)）。在其間我們獲得其它統(tǒng)計(jì)。任意子這個(gè)名稱(chēng)是弗朗克·韋爾切克起的，因?yàn)檫@些粒子在進(jìn)行粒子交換的情況下可以有任意相。

我們也可以用 ，其中粒子的自旋量子數(shù)s對(duì)于玻色子而言是整數(shù)，對(duì)于費(fèi)米子而言是半整數(shù)。因此：

，或者

在邊界上，分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)任意子被限制在一維空間中移動(dòng)。一維任意子的數(shù)學(xué)模型提供了上述交換關(guān)系的基礎(chǔ)。1

拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)在任何二維以上的空間里，自旋統(tǒng)計(jì)定理規(guī)定任何多粒子狀態(tài)都必須要么遵循費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)，要么遵循玻色-愛(ài)因斯坦統(tǒng)計(jì)。這與{\displaystyle n>2}的SO(n,1)基本群有關(guān)，其值為{\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}（有兩個(gè)元素的循環(huán)群）。因此這里只有兩個(gè)可能性（這里的細(xì)節(jié)比上述的要復(fù)雜，但是最關(guān)鍵的原因是這個(gè)）。

在二維空間里情況發(fā)生了變化，這里SO(2,1)的基本群是{\displaystyle Z}（無(wú)限循環(huán)）。這意味著自旋（2，1）不是通用覆蓋：它們不是單連通。詳細(xì)地說(shuō)特殊正交群SO(2,1)的射影表示不僅僅有SO(2,1)或者其二重復(fù)蓋群旋量群自旋（2，1）的線性表示。而這些額外的表示被稱(chēng)為任意子。

這個(gè)概念對(duì)非相對(duì)論系統(tǒng)也有效。關(guān)鍵是空間旋量群是有無(wú)限基本群的SO(2)。

這個(gè)事實(shí)也與紐結(jié)理論中著名的辮群有關(guān)。在二維中兩個(gè)粒子的排列群不再是對(duì)稱(chēng)群{\displaystyle S_{2}}，而是辮子群{\displaystyle B_{2}}了。這樣也可以來(lái)理解這個(gè)問(wèn)題。

有一種考慮解決量子計(jì)算機(jī)中的穩(wěn)定性問(wèn)題的方法是使用任意子制成的拓?fù)淞孔佑?jì)算機(jī)。這種計(jì)算機(jī)使用準(zhǔn)粒子作為線程，使用辮理論來(lái)設(shè)計(jì)穩(wěn)定的邏輯門(mén)。1

費(fèi)米子在粒子物理學(xué)里，費(fèi)米子（英語(yǔ)：fermion）是遵守費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)的粒子。費(fèi)米子包括所有夸克與輕子，任何由奇數(shù)個(gè)夸克或輕子組成的復(fù)合粒子，所有重子與很多種原子與原子核都是費(fèi)米子。術(shù)語(yǔ)費(fèi)米子是由保羅·狄拉克給出，紀(jì)念恩里科·費(fèi)米在這領(lǐng)域所作的杰出貢獻(xiàn)。

費(fèi)米子可以是基本粒子，例如電子，或者是復(fù)合粒子，例如質(zhì)子、中子。根據(jù)相對(duì)論性量子場(chǎng)論的自旋統(tǒng)計(jì)定理，自旋為整數(shù)的粒子是玻色子，自旋為半整數(shù)的粒子是費(fèi)米子。除了這自旋性質(zhì)以外，費(fèi)米子的重子數(shù)與輕子數(shù)守恒。因此，時(shí)常被引述的“自旋統(tǒng)計(jì)關(guān)系”實(shí)際是一種“自旋統(tǒng)計(jì)量子數(shù)關(guān)系”。

根據(jù)費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)，對(duì)于N個(gè)全同費(fèi)米子，假設(shè)將其中任意兩個(gè)費(fèi)米子交換，則由于描述這量子系統(tǒng)的波函數(shù)具有反對(duì)稱(chēng)性，波函數(shù)的正負(fù)號(hào)會(huì)改變。由于這特性，費(fèi)米子遵守包利不相容原理：兩個(gè)全同費(fèi)米子不能占有同樣的量子態(tài)。因此，物質(zhì)具有有限體積與硬度。費(fèi)米子被稱(chēng)為物質(zhì)的組成成分。質(zhì)子、中子、電子是制成日常物質(zhì)的關(guān)鍵元素。2

玻色子在量子力學(xué)里，粒子可以分為玻色子（英語(yǔ)：boson）與費(fèi)米子。保羅·狄拉克為了紀(jì)念印度物理學(xué)者薩特延德拉·玻色的貢獻(xiàn)，因此給出玻色子的命名。玻色與阿爾伯特·愛(ài)因斯坦合作發(fā)展出的玻色-愛(ài)因斯坦統(tǒng)計(jì)可以描述玻色子的性質(zhì)。在所有基本粒子中，標(biāo)準(zhǔn)模型的幾個(gè)傳遞作用力的規(guī)范子，光子、膠子、W玻色子、Z玻色子都是玻色子，賦予基本粒子質(zhì)量的希格斯子是玻色子，已被證實(shí)。在量子引力理論里傳遞引力的引力子也是玻色子，尚未被證實(shí)存在。在復(fù)合粒子里，介子是玻色子，質(zhì)量數(shù)為偶數(shù)的穩(wěn)定原子核，像重氫H（原子核由一顆質(zhì)子和一顆中子組成，質(zhì)量數(shù)為2）、氦-4、鉛-208等也是玻色子，準(zhǔn)粒子像庫(kù)柏對(duì)、等離體子、聲子等都是玻色子。

多個(gè)玻色子可以同時(shí)占有同樣量子態(tài)。這是一個(gè)很重要的性質(zhì)。當(dāng)氦-4因冷卻變?yōu)槌黧w時(shí)，會(huì)顯示出這種性質(zhì)。與之相比，兩個(gè)費(fèi)米子不能同時(shí)占有同樣的量子態(tài)。組成物質(zhì)的基本粒子是費(fèi)米子，例如，輕子、夸克。玻色子傳遞作用力使得費(fèi)米子能夠連結(jié)在一起。由于玻色子的作用，物質(zhì)能夠黏結(jié)在一起。2

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

李嘉騫 - 博士 - 同濟(jì)大學(xué)