[科普中國]-重極限

多元實(shí)變函數(shù)f(p)=f(x1,x2,...,xm )，當(dāng)它的所有變量同時(shí)取極限時(shí)函數(shù)值的極限，這種極限稱為重極限。當(dāng)自變量x1,x2,...,xm不是同時(shí)取極限，而是依一定的順序相繼取極限時(shí)，f(x1,x2,...,xm)的極限，稱為累次極限。

基本介紹重極限是多元函數(shù)的一種極限，因?yàn)閷(≥2)元函數(shù)而言，極限

中x=(x?，x?，…，xn)，a=(a?，a?，…，an)∈R?，x→a意味著同時(shí)有x?→a?，x?→a?，…，xn→an，故稱相應(yīng)的極限為n重極限，作為多元函數(shù)特例的多重?cái)?shù)列的極限也稱為重極限1。如二重極限

證明重極限不存在常用的方法是證明沿兩種不同路徑極限不同（通?？扇∵^點(diǎn)的直線）。例如證明重極限不存在，取直線y=kx，讓點(diǎn)(x,y)沿直線y=kx趨于（0,0）點(diǎn)此時(shí)有，則重極限不存在2。

求重極限求重極限的常用方法有：

1)利用極限性質(zhì)(四則運(yùn)算法則，夾逼原理)；

2)消去分母中極限為零的因子(有理化，等價(jià)無窮小代換)；

3)利用無窮小量與有界變量之積為無窮小量2。

【例1】求下列極限

（1）；

解：（1）由于

而，由夾逼原理知.

（2）.

解：（2）將分子有理化：

原式=

重極限與累次極限的關(guān)系多元實(shí)變函數(shù)f(p)=f(x1,x2,...,xm)，當(dāng)它的所有變量同時(shí)取極限時(shí)函數(shù)值的極限，這種極限稱為重極限。當(dāng)自變量x1,x2,...,xm不是同時(shí)取極限，而是依一定的順序相繼取極限時(shí)，f(x1,x2,...,xm)的極限，稱為累次極限。

例如，當(dāng)p(x，y)為平面中的點(diǎn)時(shí)，設(shè)聚點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a，b)，則f(P)在P→4時(shí)的重極限為

我們也把它記作

而它的兩個(gè)累次極限則記為

與

重極限與累次極限的關(guān)系

（1）累次極限存在且相等時(shí)，重極限未必存在。

（2）重極限存在時(shí)，累次極限不一定存在。

（3）若與都存在，則二者必相等。

（4）若與都存在，則三者必相等。

（5）若，則不存在。

注意

1.對于二個(gè)不同變量的極限過程在交換其次序的時(shí)候，應(yīng)該加以注意，不是無條件地都可以交換次序的。

2.累次極限和重極限的關(guān)系也是相當(dāng)復(fù)雜的，不能把重極限存在(或累次極限存在且相等)認(rèn)為是累次極限相等(或重極限序在)的必要條件3。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)