[科普中國]-密度矩陣重整化群

密度矩陣重整化群 (Density Matrix Renormalization Group)，簡稱DMRG，是一種數(shù)值算法，于公元1992年由美國物理學家史提芬·懷特提出。 密度矩陣重整化群是用來計算量子多體系統(tǒng)（例如：Hubbard model、t-J模型、海森堡模型，等等）的一個非常精準的數(shù)值算法，在一維或準一維的系統(tǒng)可以得到系統(tǒng)尺寸很大且很準確的計算結果，但是在二維的量子多體系統(tǒng)中卻很難達到所需要的精確度。目前此算法仍無法計算三維的量子系統(tǒng)。

簡介密度矩陣重整化群(Density Matrix Renormalization Group)，簡稱DMRG，是一種數(shù)值算法，于公元1992年由美國物理學家史提芬·懷特提出。 密度矩陣重整化群是用來計算量子多體系統(tǒng)（例如：Hubbard model、t-J模型、海森堡模型，等等）的一個非常精準的數(shù)值算法，在一維或準一維的系統(tǒng)可以得到系統(tǒng)尺寸很大且很準確的計算結果，但是在二維的量子多體系統(tǒng)中卻很難達到所需要的精確度。目前此算法仍無法計算三維的量子系統(tǒng)。1

DMRG 的起源從數(shù)值計算的角度來看，量子多體物理主要的困難之處就在于系統(tǒng)的希爾伯特空間維度隨著系統(tǒng)的尺寸呈指數(shù)成長，例如，一個由N個自旋1/2的粒子所組成的一維晶格系統(tǒng)其希爾伯特空間維度大小為 。 傳統(tǒng)的解決方法有兩種：

基于Lanczos算法的精確對角化法，只求出系統(tǒng)的低能狀態(tài)。這種方法只能處理很小的系統(tǒng)。

基于數(shù)值重整化群（Numerical Renormalization Group，簡稱NRG）的重整化方法，可以計算很大的系統(tǒng)。重整化的一般思想是：減少系統(tǒng)的自由度，并在這個縮減的空間中，通過特定的重整化技巧，在迭代過程中保持系統(tǒng)的自由度數(shù)不變，并使約化系統(tǒng)最終收斂到真正系統(tǒng)的低能態(tài)中。然而，NRG一般只適用在雜質系統(tǒng)中，當演算一般的格點系統(tǒng)，如赫巴德模型（Hubbard model）時，往往出現(xiàn)很大的誤差。

史提芬·懷特最先意識到，NRG在演算Hubbard模型中的失敗，是由于在NRG的迭代過程中忽略了環(huán)境對系統(tǒng)的影響。換句話說，NRG的重整化方法——只保留低能量本征態(tài)——并不能正確得出下一次迭代時的低能狀態(tài)。
DMRG的重整化方法不同于NRG。DMRG在重整化前，把整個系統(tǒng)視為兩個部分，一部分為系統(tǒng)，一部分為環(huán)境，而系統(tǒng)和環(huán)境的整體稱為超塊。接著，計算超塊的基態(tài)，有了基態(tài)之后便計算約化密度矩陣，然后對角化這個約化密度矩陣，選出擁有較大的本征值的本征態(tài)。這些擁有較大的本征值的本征態(tài)正是基態(tài)性質最重要的態(tài)，然后根據(jù)此標準對系統(tǒng)部分做重整化。1

實行DMRG的技巧實際實行DMRG是一個很冗長的工作，一些主要常用的計算手段如下：

為了得到超塊的基態(tài)，通常利用Lanczos 算法或Jacobi-Davidson 算法來對角化超塊的哈密頓算符。

一般的情況下，Lanczos 算法需要一個初始的隨機向量。通過若干次迭代后，該向量收斂到基態(tài)。這說明算法的計算速度跟向量迭代到基態(tài)的次數(shù)有關。顯然，如果能找出一個跟基態(tài)非常接近的向量做初始的隨機向量，Lanczos 算法的效率必然大大提高。史提芬·懷特在公元1996年提出：透過波函數(shù)轉換可將目前這次計算得到的基態(tài)，作為下一次Lanczos 算法的初始向量。如此一來便加速對角化超塊的哈密頓算符所花的時間。

Lanczos 算法中需要做被對角化矩陣和向量的乘積計算。該被對角化的矩陣往往非常大，直接列出該矩陣和做矩陣向量乘積會嚴重降低Lanczos 算法效率。當該被對角化矩陣可以拆分為幾個小矩陣的直積之和時（DMRG所計算的格點系統(tǒng)往往有這種性質），可以無需直接寫出該矩陣而完成整個Lanczos 算法。

在有對稱性的系統(tǒng)中有一些守恒的量子數(shù)，例如海森堡模型中的總自旋及其{\displaystyle z}軸分量。若是已知基態(tài)的量子數(shù)則可針對系統(tǒng)的希爾伯特空間特定的量子數(shù)的子空間進行對角化。

如缺少上述的一些計算手段，DMRG可能難以完成對實際物理模型的演算。1

應用DMRG 已經(jīng)成功的在許多不同的一維模型上計算低能態(tài)的一些性質，如易辛模型，海森保模型等自旋模型，費米子系統(tǒng)如Hubbard 模型，雜質系統(tǒng)如近藤效應，玻色子系統(tǒng)，混合玻色子與費米子的系統(tǒng)。隨著現(xiàn)代電腦硬件技術的進步，DMRG應用在二維系統(tǒng)上可行性愈來愈高，目前一般的作法是將二維系統(tǒng)視為一個多腿的梯子，再將梯子的長度拉長。2011年發(fā)表在《Science》封面的一篇文章中，利用 DMRG 探討二維Kagome晶格中的自旋-1/2系統(tǒng)的基態(tài)。由這篇文章來看， DMRG 可能仍是對付二維系統(tǒng)最強大的武器。1

DMRG 的擴充DMRG的巨大成功帶給人們許多沖擊與啟示，可惜的是由于波函數(shù)被表示成矩陣積態(tài)（Matrix Product State），造成DMRG在處理二維量子晶格系統(tǒng)時特別困難，更別說是三維的量子系統(tǒng)。繼承DMRG的知識和技術，許多物理學家著手發(fā)展適合研究二維甚至三維系統(tǒng)中的數(shù)值方法，例如：TEBD（Time-evolving block decimation）、PEPS（Projected Entangled Pair States）、MERA（multi-scale entanglement renormalization ansatz），等等。另一方面，也有許多物理學家在原有的DMRG方法上加以改良，讓科學家可以處理更多有趣的一維量子晶格系統(tǒng)的問題，例如：時間演化、有限溫度，等等。1

其他強關聯(lián)系統(tǒng)中常見的數(shù)值方法還有：量子蒙特卡羅法(Quantum Monte Carlo)、精確對角化法(Exact Diagonalization)。

一個密度矩陣重整化群的實例：海森堡模型的DMRG

本詞條內容貢獻者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學