[科普中國]-球多極矩

向量與標(biāo)量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 r 表示；而其大小則用r 來表示。檢驗變數(shù)或場變數(shù)的標(biāo)記的后面沒有單撇號,源變數(shù)的標(biāo)記的后面有單撇號.

對于與源位置的距離呈反比的位勢，其球多極展開所得到的系數(shù)稱為球多極矩。例如，電勢、磁向量勢、重力勢等等，都是這種位勢。

點電荷案例 源位置為 的點電荷，其電勢 在場位置 為

其中，是電常數(shù)， 是 與 之間的夾角。

假設(shè) ，場位置比源位置離原點更遠，則此距離倒數(shù)函數(shù) 以 的冪和勒讓德多項式展開為

應(yīng)用球余弦定律（spherical law of cosine）， 表示為

。

這結(jié)果也可以直接用向量代數(shù)直接計算出來。

應(yīng)用球諧函數(shù)加法定理， 又表示為

；

其中，是球諧函數(shù)。

將這方程式代入電勢的方程式，可以得到

。

點電荷的“球多極矩” 定義為

。

則電勢的方程式又可寫為

假設(shè) ，場位置比源位置離原點更近，則此距離倒數(shù)函數(shù) 可以以 的冪和勒讓德多項式展開：

。

點電荷的“內(nèi)部球多極矩”（前述的球多極矩稱為外部球多極矩）定義1為

。

則電勢的方程式寫為

。

電荷密度案例前述多極展開方法可以推廣至電荷密度分布。將點電荷{\displaystyle q}改換為微小電荷元素 ，然后積分，則可得到電勢的方程式（假設(shè)）：

；

其中，電荷密度分布的球多極矩。

特別注意，由于電勢 為實值，這展開式的復(fù)共軛也是同樣正確的球多極展開式。然而，這樣做會導(dǎo)致球多極矩的定義式含有 項目，而不是其復(fù)共軛數(shù) 。在某些領(lǐng)域，例如物理化學(xué)，這是一般常規(guī)。更詳盡資料，請參閱條目分子多極矩（molecular multipole moment）。

內(nèi)部球多極矩類似地，假設(shè) ，場位置比源位置離原點更近，則電勢的方程式為

；

其中，電荷密度分布的內(nèi)部球多極矩定義為

。

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)