[科普中國]-計盒維數(shù)

在分形幾何中， 計盒維數(shù)也稱為盒維數(shù)、閔可夫斯基維數(shù)，是一種測量距離空間(X, d)（特別是豪斯多夫空間）比如歐氏空間 Rn 中分形維數(shù)的計算方法。

介紹在分形幾何中, 計盒維數(shù)也稱為盒維數(shù)、閔可夫斯基維數(shù)，是一種測量距離空間(X,d)（特別是豪斯多夫空間）比如歐氏空間R中分形維數(shù)的計算方法。

要計算分形S的維數(shù)，你可以想象一下把這個分形放在一個均勻分割的網(wǎng)格上，數(shù)一數(shù)最小需要幾個格子來覆蓋這個分形。通過對網(wǎng)格的逐步精化，查看所需覆蓋數(shù)目的變化，從而計算出計盒維數(shù)。

假設(shè)當(dāng)格子的邊長是ε時，總共把空間分成N個格子，那么計盒維數(shù)就是：1

當(dāng)極限不收斂時，我們必須指出頂盒維數(shù)或底盒維數(shù)，或者說，計盒維數(shù)僅在和頂盒維數(shù)與底盒維數(shù)相等時才是有定義的。頂盒維數(shù)也稱為能量維數(shù)、科莫格洛夫維數(shù)、科莫格洛夫容積，或者閔可夫斯基上界維數(shù)，類似的可定義閔可夫斯基下界維數(shù)。

計盒維數(shù)以及頂盒維數(shù)、底盒維數(shù)都和更常用的豪斯多夫維數(shù)有關(guān)，而且它們通常是一致的，只有在極特別的情況下才有區(qū)別。更詳細(xì)的區(qū)別參考下文。另一個分形維的度量是關(guān)聯(lián)維數(shù)。

定義的變化盒子可以是方的，也可以是圓的，我們可以用半徑為 ε 的球來覆蓋空間，并逐步減小球的半徑。使用球的好處是，它比方形的數(shù)學(xué)形式更簡單，并且更容易應(yīng)用到更一般的距離空間，而方形僅在歐幾里德空間中才有直觀的定義。

而使用方形的格子也有它的好處，在很多情況下方格的N(ε) 計算更簡單，并且盒子的數(shù)目和它的覆蓋數(shù)是相等的，而同樣的覆蓋數(shù)，需要更多個球。

與豪斯多夫維數(shù)的關(guān)系計盒維數(shù)是定義分形維的若干種方法之一。對于很多定義良好的分形來說，這些不同分?jǐn)?shù)維的值是相等的。特別是當(dāng)分型滿足開集條件時，這些維數(shù)一致。比如說，對康托集來說，它的豪斯多夫維數(shù)、底盒維數(shù)、頂盒維數(shù)都等于 log(2)/log(3)。然而它們的定義是不同的。

計盒維數(shù)和豪斯多夫維數(shù)存在如下不等式：

一般的這兩個不等式可能是嚴(yán)格不等的。當(dāng)分型在不同尺寸有著不同行為時，頂盒維數(shù)可能大于底盒維數(shù)。例如，驗證一下區(qū)間 [0,1] 中滿足以下條件的數(shù)集

對于任何n， 所有在第 2位和第 2?1 位之間（含兩端）的數(shù)字均為 0

在“奇位置區(qū)間”的數(shù)位沒有限制，例如，在第 2位和 2?1 位間的數(shù)字沒有限制，可以取任何值。該分型的頂盒維度為 2/3 而底盒維度為 1/3。這點很容易通過計算N(ε) （）并注意到這些值在n分別取奇數(shù)和偶數(shù)時表現(xiàn)不同來證實。

更多例子：有理數(shù)集Q，是一可數(shù)集故而其 ，但是其因為其閉包的維度是 1 。實際上，

這些例子顯示了增添可數(shù)集能改變計盒維度，揭示了這種維度的一種不穩(wěn)定性。

參見不確定性系數(shù)

關(guān)聯(lián)維數(shù)

豪斯多夫維數(shù)

空隙度

填充維數(shù)

Weyl-Berry 猜想

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)