[科普中國]-速降函數(shù)空間

速降函數(shù)空間（Schwartz space）是數(shù)學(xué)中一類函數(shù)的總稱，也稱為施瓦茨空間，指的是當(dāng)自變量的值趨向于無窮大時，函數(shù)值趨近0的速度“足夠快”的函數(shù)。速降函數(shù)空間的一個重要性質(zhì)是傅里葉變換對于這個空間是一個自同構(gòu)，也就是說，速降函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換之后仍然會是速降函數(shù)。這個性質(zhì)使得可以對S的對偶空間中的元素，也就是緩增廣義函數(shù)，來定義其傅里葉變換。速降函數(shù)空間的別稱“施瓦茨空間”得名于法國數(shù)學(xué)家洛朗·施瓦茨，速降函數(shù)空間里的函數(shù)也被稱為施瓦茨函數(shù)。

定義歐幾里得空間上的速降函數(shù)空間是滿足以下條件的函數(shù)的集合：

其中 α, β 是多重指標(biāo)，C∞() 是所有從射到C 的光滑函數(shù)。

其中sup符號指函數(shù)的最小上界，指多重指標(biāo)下的導(dǎo)數(shù)。簡單來說，速降函數(shù)是指當(dāng)時趨近于零的速度比所有的多項(xiàng)式的倒數(shù)都快，并且任意階的導(dǎo)數(shù)都有這種性質(zhì)的函數(shù)。1

例子1、設(shè) i 是一個多重指標(biāo)，a 是一個正實(shí)數(shù)，那么

比如，高斯函數(shù)就是一個速降函數(shù)。這是因?yàn)閷θ我獾亩嘀刂笜?biāo) α, β

2、任意的緊支撐光滑函數(shù)f 都屬于，這是因?yàn)閒 的所有的導(dǎo)函數(shù)乘以任意的都是緊支撐的，所以必然有界，也就是說在上有最大值。

3、如果一個光滑函數(shù)僅僅滿足自身乘以任意的都有界的話，這個函數(shù)不一定是速降函數(shù)。導(dǎo)函數(shù)也具有同樣的性質(zhì)這一點(diǎn)是很重要的。例如函數(shù)

f自身乘以任何的都有界，但它的導(dǎo)數(shù)：

而是一個指數(shù)發(fā)散的函數(shù)，甚至不趨于零，當(dāng)然不是速降函數(shù)。從而 也不是速降函數(shù)。

性質(zhì)1、是復(fù)數(shù)的弗雷歇空間。

2、如果f 是速降函數(shù)，那么在時一定趨于0。

3、速降函數(shù)空間中的元素乘以多項(xiàng)式之后仍然屬于。甚至只要函數(shù)u在時是某個多項(xiàng)式的等價無窮大，那么中的元素乘以 u 后仍在中。

4、根據(jù)微分的萊布尼茲法則，速降函數(shù)空間在函數(shù)乘法運(yùn)算下封閉。也就是說，如果兩個函數(shù) ，那么有 。這里的乘積是點(diǎn)對點(diǎn)的意義。

5、對所有的，都有，其中Lp() 是所謂的Lp空間，也就是說所有在上p 次可積的函數(shù)的空間。

6、傅里葉變換是的一個線性自同構(gòu)。2

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)