[科普中國]-舒爾補(bǔ)

在線性代數(shù)與矩陣論中，一個(gè)矩陣的子矩陣之舒爾補(bǔ)是一個(gè)與其余子陣同樣大小的矩陣，定義如下：假設(shè)一個(gè) (p+q)×(p+q)的矩陣M被分為A, B, C, D四個(gè)部分，分別是p×p、p×q、q×p以及q×q的矩陣。1

定義假設(shè)一個(gè) (p+q)×(p+q)的矩陣M被分為A, B, C, D四個(gè)部分，分別是p×p、p×q、q×p以及q×q的矩陣，也就是說：

并且D是可逆的矩陣。則D在矩陣中的舒爾補(bǔ)是：

這是一個(gè)p×p的矩陣。舒爾補(bǔ)得名于數(shù)學(xué)家伊賽·舒爾，后者用舒爾補(bǔ)來證明舒爾引理。然而，舒爾補(bǔ)的概念在之前就曾經(jīng)被使用過。2

背景舒爾補(bǔ)實(shí)際上是對原來的矩陣M進(jìn)行一系列的初等變換操作后得到的矩陣，其轉(zhuǎn)換矩陣是下三角矩陣：

其中 表示一個(gè)p×p的單位矩陣。矩陣M右乘轉(zhuǎn)換矩陣L之后，左上角就會出現(xiàn)舒爾補(bǔ)，具體的形式是：

因此，矩陣M的逆，如果存在的話，可以用 以及其舒爾補(bǔ)（如果存在的話）來表示：

當(dāng)p和q都等于1（即A、B、C和D都是系數(shù)）時(shí)，我們可以得到一般的2 × 2的矩陣的逆矩陣表達(dá)式：

這也說明了 是非零的數(shù)。3

在矩陣方程求解中的應(yīng)用舒爾補(bǔ)很自然地可以在如下的方程組求解中發(fā)揮作用：

其中x以及a是p維的列向量，而y以及b則是q維的列向量。矩陣A、B、C、D則同上面假設(shè)。將第二個(gè)方程左乘上矩陣 ，并將得到后的方程與第一個(gè)相減，就得到：

因此，如果可以知道D以及D的舒爾補(bǔ)的逆矩陣，就可以解出未知量x之后帶入第二個(gè)方程 就可以解出y。這樣，就將 矩陣的求逆問題轉(zhuǎn)化成了分別求解一個(gè)p×p矩陣以及一個(gè) q×q矩陣的逆矩陣的問題。這樣就大大減低了復(fù)雜度（計(jì)算量）。實(shí)際上，這要求矩陣D滿足足夠好的條件，以使得算法得以成立。

概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用假設(shè)有分別屬于 以及 的隨機(jī)列向量X,Y，并且 中的向量對 (X,Y)具有多維正態(tài)分布，其方差矩陣是對稱的正定矩陣

那么X在Y給定時(shí)的條件方差是矩陣C在V中的舒爾補(bǔ)：

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)