[科普中國]-正規(guī)態(tài)射

在范疇論中，正規(guī)態(tài)射是一類可以自然地分解成單射與滿射的態(tài)射。使所有態(tài)射皆為正規(guī)態(tài)射的范疇稱為正規(guī)范疇。

定義設(shè) 為一個有限射影極限與歸納極限的范疇。設(shè)為態(tài)射。設(shè) 為積的投影，而 為上積的內(nèi)射。1定義：

上像：

像：

根據(jù)極限性質(zhì)，自然態(tài)射 是滿射，而 則是單射。此外還存在唯一一個態(tài)射 ，使得合成態(tài)射

正好是 。

若為同構(gòu)，則稱 為正規(guī)態(tài)射；正規(guī)態(tài)射可以寫成滿射與單射的合成。所有態(tài)射皆為正規(guī)態(tài)射的范疇稱為正規(guī)范疇。

性質(zhì)以下三個條件等價：

為嚴格滿射

為同構(gòu)

序列 正合

如果同時是嚴格滿射與嚴格單射，則為同構(gòu)。

恒為嚴格滿射。

例子正規(guī)態(tài)射的重要特性在于它分解為滿射與單射，此分解在阿貝爾范疇中扮演關(guān)鍵角色。

對于集合范疇、群范疇以及一個環(huán)上的模范疇，嚴格性并不成問題。一旦引入額外結(jié)構(gòu)，狀況將大大地復(fù)雜化：例如取為拓撲向量空間范疇，中存在所有有限的積與上積。中的態(tài)射即連續(xù)線性映射，其像是空間配與的子空間拓撲，上像則是配與的商拓撲；后者一般較前者為細。

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學