[科普中國]-基本列

基本列(fundamental sequence)亦稱柯西列，是極限存在的數(shù)列，也就是滿足柯西條件的數(shù)列，即這樣的{xn}：對任意正整數(shù)ε，存在正整數(shù)N，使當n，m>N時，有|xn-xm|0，若存在N∈N*，使得當m,n∈N*且m,n>N時，有

則稱數(shù)列{an}是一個基本列或Cauchy(柯西，1789~1857)列。

粗略地說，基本列的特征是:只要數(shù)列中兩個項充分地靠后，而不論它們的相對位置如何，它們之差的絕對值便可以小到事先任意給定的程度。

在定義中，顯然只需考慮m>n的情形。我們可以令m=n+p，這樣一來，基本列的定義可以等價地敘述為：對任意給定的ε>0，若存在N∈N*，使得當n>N時，

對一切p∈N*成立，則數(shù)列{an}叫作基本列1。

相關(guān)性質(zhì)定理下面中心的議題是要證明：一個數(shù)列是收斂數(shù)列的充分必要條件是，它是基本列。為此，我們需做一些預(yù)備工作1。

引理1 從任一數(shù)列中必可取出一個單調(diào)子列。

證明 先引人一個定義：如果數(shù)列中的一項大于這個項之后的所有各項，則稱這一項是一個“龍頭”。分兩種情況來討論.

情況(a)如果在數(shù)列中存在著無窮多個“龍頭”,那么把這些可作“龍頭”的項依次取下來，顯然將得到一個嚴格遞減的數(shù)列.

情況(b) 設(shè)在此數(shù)列中只有有限多個項可作“龍頭”.這時取出最后一個“龍頭”的下一項,記作.由于不是“龍頭”,在它的后邊必有一項(i?>i?)滿足≤;因也不是“龍頭”,在它的后邊也必可找到一項(i?>i?),使得≥.如此進行下去,就得到子列{},它顯然是一個遞增的子列。

定理1(列緊性定理) 從任何有界的數(shù)列中必可選出一一個收斂的子列。

此定理也稱作Bolzano(波爾查諾,1781~1848)- Weierstrass(魏爾斯特拉斯，1815~1897)定理。

證明 設(shè){an}是一個有界的數(shù)列.根據(jù)引理1，從中可以取出一個單調(diào)子列{}，這個子列當然也是有界的。易知{}是一個收斂數(shù)列。

現(xiàn)在來證明本節(jié)的主要定理。

定理2 一個數(shù)列收斂的充分必要條件是，它是基本列1。

證明 必要性。設(shè){an}是一個收斂數(shù)列，其極限記作a。因此，對任意給定的ε>0，存在正整數(shù)N,當n>N時,有

當m,n∈N*,且m,n>N時，可得

表明{an}是一個基本列.

充分性。設(shè){an}是一個基本列，首先證明基本列必是有界的，對ε0=1而言,可以取出一個N∈N*,且當n>N時,有

由此知

再令

可見|an|≤M對一切n∈N*成立，因此，{an}是有界數(shù)列。

根據(jù)定理1，從有界數(shù)列{an}中可選出一個收斂的子列{}，設(shè)→a (n→∞)。我們來證明這個a也是數(shù)列{an}的極限。由于{an}是基本列，對任給的ε>0,存在一個N?∈N*,使得當m，n>N?時，都有又因,對任給的ε>0,存在N2∈N*,當k>N2時，現(xiàn)取N= max(N?,N?),當n>N時，有

這正說明。

定理2又稱為數(shù)列的Cauchy收斂原理，是一個在理論上非常重要的定理，在數(shù)學(xué)分析的全部內(nèi)容中，有著各式各樣的表述，它告訴我們，當我們來判斷一個數(shù)列是否收斂時，只需通過數(shù)列的自身，而無須求助于另外的數(shù)，還應(yīng)指出的是，Bolzano- Weierstrass定理和Cauchy收斂原理是實數(shù)系統(tǒng)連續(xù)性的另外兩種表現(xiàn)形式1。

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)