[科普中國]-傅汝蘭尼積分

傅汝蘭尼積分(Frullani integral)是一種特殊的含參變量的廣義積分。傅汝蘭尼積分公式是一種常見的積分公式，在計算廣義積分時，有時可以化為Frullani積分，另外還有Euler積分、Dirichlet積分和Laplace積分等1。

基本介紹傅汝蘭尼積分是一種特殊的含參變量的廣義積分，形如

的廣義積分，其中f在(0，+∞)上連續(xù)。可精確計算的情形有2：

1.當(dāng)f(0+)∈R， f(x)=f(+∞)∈R時，積分值為(f(0+)-f(+∞))ln(b/a)。

2.當(dāng)f(0+)∈R，且存在A≥0，使

收斂時，積分值為f(0+)ln(b/a)；

3.當(dāng)f(+∞)∈R，且存在A>0，使

收斂時，積分值為f(+∞)ln(b/a)2。

傅汝蘭尼積分的證明定理1 設(shè) 是定義在閉區(qū)間 的(二變數(shù)的)連續(xù)函數(shù)，讓 ，此時，下列性質(zhì)成立3。

(i)F在 上連續(xù)。

(ii)

(iii)偏導(dǎo)函數(shù) 如在D連續(xù)，則F在[a，b]可微分而且

（以上定理的證明請參考相應(yīng)文獻）

Frullani的積分 f是 上的連續(xù)函數(shù)，若對任意的 存在，則

稱此為Frullani的積分3。

證明對任意α

同理

所以

現(xiàn)令 ，在D的各點(x，α)研究與它對應(yīng)的實數(shù)值f(αx)/x的函數(shù)，這個函數(shù)在閉區(qū)間D是連續(xù)的。因此，根據(jù)以上定理的(i)，由3

所定義的函數(shù)F在[0，1)連續(xù)。故

即

這樣， 時，(1)的左邊收斂，且

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)