[科普中國]-麥克勞林級(jí)數(shù)

麥克勞林級(jí)數(shù)(Maclaurin series)是函數(shù)在x=0處的泰勒級(jí)數(shù)，它是牛頓(I.Newton)的學(xué)生麥克勞林(C.Maclaurin)于1742年給出的，用來證明局部極值的充分條件，他自己說明這是泰勒級(jí)數(shù)的特例，但后人卻加了麥克勞林級(jí)數(shù)這個(gè)名稱1。

基本介紹對(duì)于一個(gè)給定的函數(shù)f(x)，如果能找到一個(gè)冪級(jí)數(shù) ，使

成立，則稱f(x)可展開成x的冪級(jí)數(shù)。但要將f(x)展開成x的一個(gè)冪級(jí)數(shù)，需解決兩個(gè)以下問題：

(1)如何確定式(1)中的系數(shù) ?

(2)按所求得的系數(shù)，這個(gè)冪級(jí)數(shù)在它的收斂域內(nèi)的和函數(shù)是否就是f(x)?

先解決問題(1)，不妨設(shè)式(1)成立。那么。根據(jù)冪級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)的性質(zhì)，依次求出式(1)中的各階導(dǎo)數(shù)：

把x=0代人式(1)及上述各式，得

于是

把它們代回式(1)，得

通常稱式(2)為f(x)的麥克勞林展開式或f(x)在x=0處的冪級(jí)數(shù)展開式。式(2)中等號(hào)右端的級(jí)數(shù)稱為f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)或f(x)展開成x的冪級(jí)數(shù)。

至于問題(2)。只要證明其余項(xiàng)滿足即可(證明略)。

下面考慮在什么條件下，函數(shù)f(x)能展開成麥克勞林級(jí)數(shù)。

可見，按公式求得系數(shù)的冪級(jí)數(shù)在它的收斂域內(nèi)的和函數(shù)就是f(x)2。

麥克勞林級(jí)數(shù)展開的條件及方法定理1設(shè)函數(shù)f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)的收斂半徑R>0，當(dāng)n→∞時(shí)，如果函數(shù)f(x)在任一固定點(diǎn)x處的n階導(dǎo)數(shù)f(n)(x)有界，則函數(shù)f(x)在收斂區(qū)間(-R，R)內(nèi)能展開成麥克勞林級(jí)數(shù)3。即

把函數(shù)f(x)展開成龍的冪級(jí)數(shù)，有直接展開法和間接展開法2。

直接展開法

利用麥克勞林級(jí)數(shù)公式將函數(shù)f(x)展開成x的冪級(jí)數(shù)的方法，稱為直接展開法。步驟可歸納為：

(1)求出f(x)的各階導(dǎo)數(shù)，令得

(2)寫出f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)

并求出收斂半徑R。

間接展開法

利用麥克勞林級(jí)數(shù)展開函數(shù)，需要求高階導(dǎo)數(shù)，比較麻煩，如果能利用已知函數(shù)的展開式，根據(jù)冪級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)的性質(zhì)，將所給的函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)，這種方法稱為間接展開法2。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)