[科普中國]-重級(jí)數(shù)

重級(jí)數(shù)(multiple series)也稱多重級(jí)數(shù)，k重級(jí)數(shù)等，是重序列的形式和，多重級(jí)數(shù)的理論和性質(zhì)等可效仿二重級(jí)數(shù)的理論和性質(zhì)加以推廣得到。

基本介紹重級(jí)數(shù)（1）由m重序列an1n2…nm構(gòu)成的形如

的表達(dá)式稱為m重級(jí)數(shù)，這里n1，n2，…，nm各自獨(dú)立地取1，2，3，…，參見“二重級(jí)數(shù)”，該條中的各種部分和容易推廣到m≥3時(shí)的m重級(jí)數(shù)1。

（2）設(shè)(xs)s∈ Np是G之元素的多重序列，對(duì)Np的任一有限子集J，假定

稱由多重序列(xs)及族(SJ)所組成的偶為以(xs)為通項(xiàng)的多重級(jí)數(shù)，其中J取遍Np的全體有限子集的集合。用通俗而不嚴(yán)格的語言，人們也常說如果族(xs)s∈Np是可和的，則這個(gè)多重級(jí)數(shù)是收斂的2。

相關(guān)性質(zhì)定理設(shè)有r個(gè)下標(biāo)的無窮數(shù)組

則稱運(yùn)算符號(hào)

為多重(r-重)級(jí)數(shù)(multiple series)，若部分和

當(dāng)時(shí)有有窮極限A，則稱此多重級(jí)數(shù)收斂，且和為A，否則稱為發(fā)散。

多重級(jí)數(shù)的理論可效仿下面的二重級(jí)數(shù)理論加以推廣得到1。

二重級(jí)數(shù)是二重序列的形式和，設(shè){amn}是二重序列，把它的項(xiàng)按任意次序排列并以加號(hào)連結(jié)得到的表達(dá)式稱為二重級(jí)數(shù)，記為

amn， (1)

這里m，n各自獨(dú)立地取正整數(shù)1，2，3，…數(shù)

Smn=aij

稱為(1)的部分和，若二重極限

=S(有限)，

則稱該二重級(jí)數(shù)收斂，S為它的和，記為

S=.

當(dāng)這樣的S不存在時(shí)，稱這個(gè)二重級(jí)數(shù)發(fā)散。若

|amn|

收斂，則稱(1)絕對(duì)收斂。類似于通常的級(jí)數(shù)(相對(duì)于二重級(jí)數(shù)，通常的級(jí)數(shù)稱為單級(jí)數(shù))，可定義二重級(jí)數(shù)的條件收斂性。單級(jí)數(shù)的一些基本性質(zhì)仍為二重級(jí)數(shù)所保持。例如，非負(fù)項(xiàng)二重級(jí)數(shù)收斂當(dāng)且僅當(dāng)其部分和有界，二重級(jí)數(shù)收斂的必要條件是amn→0(m，n→∞)，絕對(duì)收斂的二重級(jí)數(shù)必收斂(參見“絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)”)等，對(duì)二重函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，也可如函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)那樣引進(jìn)一致收斂概念，并得到相應(yīng)的柯西準(zhǔn)則、M判別法等，設(shè)φ是正整數(shù)集N+到N+×N+上的一一對(duì)應(yīng)，則對(duì)二重級(jí)數(shù)(1)，可以得到級(jí)數(shù)

aφ(k).

φ稱為二重序列{amn}到序列{aφ(k)}k=1的重排，或二重級(jí)數(shù)(1)到單級(jí)數(shù)∑aφ(k)的重排.若級(jí)數(shù)

|amn|，|amn|，|amn|，|aφ(k)|

之一收斂，則：

1.另三個(gè)也收斂，且它們的和相等(設(shè)為S)。

2.amn與amn均絕對(duì)收斂于S(amn與amn也絕對(duì)收斂)。

在一些文獻(xiàn)中，上述結(jié)論被稱為主要重排定理。由此可知，絕對(duì)收斂的二重級(jí)數(shù)的兩個(gè)疊級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂，有同一個(gè)和。由于二重級(jí)數(shù)的項(xiàng)的排列次序不惟一以及多種研究目的，因此，還有多種定義二重級(jí)數(shù)的部分和的方式，相應(yīng)地也就有了不同的定義二重級(jí)數(shù)的和與收斂性的方式1。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)