[科普中國]-微分連鎖律

微分連鎖律是一門高等數(shù)學的定律。連鎖律的基本公式為：dy/dx=(dy/dz)×(dz/dx)

概述當需要微分(x+1)2時，我們可以將其展開成為x2+2x+1后對其求導，得到2x+2。然而，當我們遇到類似(3x+1)5這樣的式子時，將其展開將浪費許多時間和精力，這時我們可以使用連鎖律來解決這個問題。

連鎖律的基本公式為：dy/dx=(dy/dz)×(dz/dx)

連鎖律的推導假設y=f(x)且z=f(y)：

∵δy/δx=(δy/δz)×(δz/δx)

∴l(xiāng)imδx→0 δy/δx=(limδz→0 δy/δz)×(limδx→0 δz/δx)

又∵當δx→0時,δz→0

∴l(xiāng)imδx→0 δy/δx=(limδx→0 δy/δz)×(limδx→0 δz/δx)

得出公式：dy/dx=(dy/dz)×(dz/dx)

以y=(3x+1)5為例，使用連鎖律求導：

假設z=3x+1，y=z5。

d/dx[(3x+1)5]=dy/dx

=(dy/dz)×(dz/dx)

=[d/dz(z5)]×[d/dx(3x+1)]

=(5z4)(3)

=15z4

=15(3x+1)4

這樣我們就可以輕松得出(3x+1)5的導數(shù)1。

連鎖律的應用y^n的導數(shù)連鎖律一般被用來求yn的導數(shù)（y=f(x)且n為常數(shù)），我們可以用連鎖律獲得更簡單的公式。

以(ax+b)n為例，假設y=ax+b：

d/dx(yn)

=d/dy(yn)×dy/dx （連鎖律）

=[ny(n-1)](a)

=any(n-1)

=an(ax+b)(n-1)

可以得出：

d/dx(yn)=[ny(n-1)](dy/dx)

d/dx[(ax+b)n]=an(ax+b)(n-1)

1/y或1/y^n的導數(shù)有時，n的值會是-1，我們也可以使用連鎖律。

d/dx(1/y)

=d/dx[y(-1)]

=[-y(-2)]×(dy/dx) （連鎖律）

=(-1/y2)(dy/dx)

有的時候n的值是其他負數(shù)：

d/dx(1/yn)

=d/dx[y(-n)]

=[-ny(-n-1)]×(dy/dx) （連鎖律）

=[-n/y(n+1)](dy/dx)

最后得出：

d/dx(1/y)=(-1/y2)(dy/dx)

d/dx(1/yn)=[-n/y(n+1)](dy/dx)

√y的導數(shù)在日常生活中，n除經常取整數(shù)外，還經常取1/2，即y=√z。

同樣以y=√z（z是自變量為x的函數(shù)）為例，使用剛得到的公式進行求導：

dy/dx

=(dy/dz)×(dz/dx) （連鎖律）

=[0.5z(-0.5)](dz/dx)

得出另一個公式：d/dx(√y)=(dy/dx)/(2√y)

以上幾個公式可以在大多數(shù)情況下代替連鎖律使用，它們比連鎖律更容易使用。

所有連鎖律公式dy/dx=(dy/dz)×(dz/dx)

d/dx(yn)=[ny(n-1)](dy/dx)

d/dx[(ax+b)n]=an(ax+b)(n-1)

d/dx(1/y)=(-1/y2)(dy/dx)

d/dx(1/yn)=[-n/y(n+1)](dy/dx)

d/dx(√y)=(dy/dx)/(2√y)1

本詞條內容貢獻者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學