[科普中國(guó)]-雙曲旋轉(zhuǎn)

雙曲旋轉(zhuǎn)(revolution of hyperbolic)是一種平面仿射變換，即將雙曲線繞其中心旋轉(zhuǎn)的平面仿射變換，在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲旋轉(zhuǎn)的計(jì)算公式為：x'=xchφ+y(a/b)shφ,y'=x(b/a)shφ+ychφ1。

雙曲旋轉(zhuǎn)的定義和總的描述下面說(shuō)明關(guān)于把雙曲線變成它自已的非常重要的平面仿射變換2。

取任意一對(duì)相交的直線,來(lái)討論把這兩條直線的每一條都變成它自己而且不改變它們的方向的等仿射變換(也就是不改變面積的仿射變換).為了說(shuō)明這個(gè)變換的結(jié)構(gòu),在所取的直線的一條上從這些直線的交點(diǎn)放一個(gè)向量e?,在另一條上放一個(gè)向量e?.設(shè)e'?和e'?是這些向量的象.向量e'?與e?共線而且方向相同.所以

這兒τ是一個(gè)正數(shù).然而這時(shí)候

因?yàn)橹挥羞@樣,作在向量e'?,e'?上的平行四邊形才與作在向量e?,e?上的平行四邊形面積相等,向量e'?的方向才與向量e?的方向相同.公式(1)和(2)指出,在所取的直線互相垂直時(shí)，所討論的變換簡(jiǎn)單地就由向著第一條直線(也就是放上向量e?的直線)系數(shù)為τ的壓縮和向著第二條直線系數(shù)為倒數(shù)1/τ的壓縮合成。在直線并不互相垂直的情形,類似我們可以地說(shuō)，變換由向著第一條直線平行于第二條直線系數(shù)為τ的“斜壓縮”和向著第二條直線平行于第一條直線系數(shù)為倒數(shù)1/τ的“斜壓縮”合成.這些“斜壓縮”的正確定義恰恰就是公式(1)和(2)所給的，反之,兩個(gè)這樣的“壓縮”的結(jié)果顯然是一個(gè)等仿射變換，它把“壓縮”軸線變到自身而且保留它們的方向不變。

從雙曲線的幾何定義可以推出，在所說(shuō)的變換下，以所取的直線作為漸近線的每個(gè)雙曲線,都變成它自己,并且還把它的每一支變成自己.實(shí)際上,在所說(shuō)的變換下,這種雙曲線的每個(gè)點(diǎn)和它的象，對(duì)于作為坐標(biāo)軸的漸近線說(shuō),在等面積的坐標(biāo)平行四邊形,并且落在同一個(gè)坐標(biāo)角里,這就是說(shuō),它們?cè)谕粋€(gè)雙曲線上而且還在同一支上.

由于這個(gè)原因，所寫的仿射變換叫作平面關(guān)于一對(duì)已知直線的雙曲旋轉(zhuǎn).這對(duì)直線叫作雙曲旋轉(zhuǎn)的漸近線.漸近線的交點(diǎn)叫作雙曲旋轉(zhuǎn)的中心.如果漸近線中間的角是直角，則雙曲旋轉(zhuǎn)叫作正的，否則就叫作斜的.這樣一來(lái)，正雙曲旋轉(zhuǎn)把等邊雙曲線變成自己，而斜雙曲旋轉(zhuǎn)則把不等邊雙曲線變成自己(自然在這兩種情形里所說(shuō)的雙曲線都是以旋轉(zhuǎn)的漸近線作為它的漸近線的雙曲線).

顯然,利用把已知雙曲線變成自己的適當(dāng)?shù)碾p曲旋轉(zhuǎn),它的任意點(diǎn)可以變成雙曲線同一支上的任意別的點(diǎn).

恒等變換是雙曲旋轉(zhuǎn)的特別情形,它是在公式(1)和(2)里τ=1的雙曲旋轉(zhuǎn).

雙曲旋轉(zhuǎn)可以看作是平面的連接變換的結(jié)果，這時(shí)兩條漸近線都變成自己，而且其中的一條向著中心壓縮,另一條成比例地伸長(zhǎng)，而不在旋轉(zhuǎn)漸近線上的點(diǎn)則畫出具有這些漸近線的雙曲線，并且落在漸近線所組成的同一對(duì)對(duì)頂角里的所有點(diǎn)，它們的半徑向同一個(gè)方向旋轉(zhuǎn)，而落在鄰補(bǔ)角里的點(diǎn)的半徑則向相反的方向旋轉(zhuǎn).

附言 在特別相對(duì)論里占有基本地位的著名的洛倫茲變換，從幾何觀點(diǎn)看來(lái)不是別的,正是雙曲旋轉(zhuǎn).洛倫茲變換的公式是雙曲旋轉(zhuǎn)的公式,但是并不是對(duì)于漸近線說(shuō)的，而是對(duì)于雙曲線的對(duì)稱軸說(shuō)的,而且用有物理意義(速度)的參數(shù)v來(lái)表達(dá)。v很容易用τ來(lái)表達(dá)。

從雙曲旋轉(zhuǎn)的等仿射性容易推出,同一個(gè)雙曲線上所有的點(diǎn)從中心出發(fā)的半徑(對(duì)于共軛雙曲線也一樣)掃過(guò)等面積的雙曲扇形.實(shí)際上,設(shè)M?和M?是雙曲線的任意兩個(gè)點(diǎn),M'?和M'?是它們?cè)诎堰@個(gè)雙曲線變成自己的雙曲旋轉(zhuǎn)下的象.根據(jù)雙曲線對(duì)于中心的對(duì)稱性，只需要證明當(dāng)M?和M?落在同一支上的情形(圖1).雙曲扇形OM'?M'?是雙曲扇形OM?M?的象，因?yàn)殡p曲旋轉(zhuǎn)是等仿射的，所以這兩個(gè)扇形等面積.于是由半徑OM?和OM?所掃過(guò)的扇形OM?M'?和OM?M'?也等面積，因?yàn)樗鼈儚牡让娣e的扇形OM?M?和OM'?M'?加上或者減去同一個(gè)扇形OM?M'?而得到2。

相關(guān)討論1.夾在雙曲線和它的漸近線中間的面積的無(wú)限性

從雙曲旋轉(zhuǎn)的等仿射性質(zhì)便推出,夾在雙曲線和它的漸近線中間的面積是無(wú)限的.實(shí)際上,我們來(lái)討論雙曲線上一個(gè)點(diǎn)M從中心O出發(fā)的半徑OM(圖2).在把已知雙曲線變成自己的雙曲旋轉(zhuǎn)下,半徑OM變成一一個(gè)半徑OM'.重復(fù)這個(gè)雙曲旋轉(zhuǎn),我們把半徑OM'變成OM"等等.雙曲扇形MOM',M'OM",M"OM'",...的面積全部相同,因?yàn)榈诙€(gè)扇形從第一個(gè)經(jīng)過(guò)雙曲旋轉(zhuǎn)而得到,第三個(gè)從第二個(gè)經(jīng)過(guò)同一個(gè)雙曲旋轉(zhuǎn)而得到等等.由于這些扇形等面積，而且它們顯然不重疊,所以這些面積全體是無(wú)限大量,我們的斷言也就證明了。

2.把雙曲線變成自己的任意仿射變換

顯然，除掉雙曲旋轉(zhuǎn)以外,把雙曲線變成自己的還有對(duì)于對(duì)稱軸的反射和對(duì)于中心的反射(也就是同時(shí)對(duì)于兩條對(duì)應(yīng)軸作反射,或者說(shuō)是繞著中心旋轉(zhuǎn)180°也一樣).容易看出,每一個(gè)把已知雙曲線變成自己的仿射變換或者是純粹的雙曲旋轉(zhuǎn)，或者是雙曲旋轉(zhuǎn)加上所說(shuō)反射的一個(gè)(特別說(shuō)來(lái),雙曲旋轉(zhuǎn)可以是恒等變換).實(shí)際上，在仿射變換下，任意曲線的漸近線還變成這條曲線的漸近線(直線是漸近線的性質(zhì)是仿射的).所以把雙曲線變成自己的仿射變換,也把它的漸近線集合變成自己。因此，從雙曲線中心沿著漸近線放的向量e?，e?，在這種仿射變換下還變成沿著漸近線行進(jìn)的向量。此外，向量e?，e?只能變成下列甲種形狀的各對(duì)向量之一

(這兒τ>0)，這就是說(shuō)，所討論的仿射變換或者是雙曲旋轉(zhuǎn),或者是雙曲旋轉(zhuǎn)加上對(duì)于雙曲線的一-條漸近線，對(duì)于另一條漸近線或者同時(shí)對(duì)于兩條漸近線的反射(并且當(dāng)τ=1時(shí)，雙曲旋轉(zhuǎn)就變成恒等變換)2。

雙曲旋轉(zhuǎn)的系數(shù)如果我們采用雙曲旋轉(zhuǎn)的漸近線之一作為第一條，另一條作為第二條，則每個(gè)具有已知漸近線的雙曲旋轉(zhuǎn)，就由它所產(chǎn)生的向著第一條軸線所作平行于第二條的壓縮的系數(shù)τ所唯一決定.這個(gè)數(shù)目τ叫作對(duì)于已知的一對(duì)有順序的漸近線說(shuō)的雙曲旋轉(zhuǎn)的系數(shù).當(dāng)漸近線的號(hào)碼變成相反的時(shí)，同一個(gè)雙曲旋轉(zhuǎn)就由倒數(shù)系數(shù)1/τ決定;這就是我們所以要把漸近線編號(hào)的原因。

早先已經(jīng)說(shuō)過(guò),系數(shù)為1的雙曲旋轉(zhuǎn)是恒等變換。

不難看出，對(duì)于任意一對(duì)有順序的漸近線說(shuō)的雙曲旋轉(zhuǎn)，在任意的仿射變換下，誘發(fā)對(duì)于這一對(duì)漸近線的象的雙曲旋轉(zhuǎn),并且有同一個(gè)系數(shù)τ。

實(shí)際上，在原先的雙曲旋轉(zhuǎn)下，落在第一條漸近線上的所有向量都乘上1/τ，而落在第二條漸近線上的所有向量都乘上τ，于是誘發(fā)出來(lái)的變換就使落在漸近線的象上的所有向量分別乘上同一個(gè)數(shù)目1/τ或者τ。這說(shuō)明誘發(fā)出來(lái)的變換是關(guān)于原先漸近線的象的雙曲旋轉(zhuǎn)，并且只要對(duì)于新的一對(duì)漸近線保留同樣的編號(hào)，這個(gè)雙曲旋轉(zhuǎn)也有系數(shù)τ。

雙曲旋轉(zhuǎn)的角對(duì)于一對(duì)有順序的漸近線說(shuō)的雙曲旋轉(zhuǎn)還可以由它的“角”決定.完全與橢圓旋轉(zhuǎn)的角相似,雙曲旋轉(zhuǎn)的角定義作為任意點(diǎn)從旋轉(zhuǎn)中心出發(fā)的半徑所掃過(guò)的扇形面積的兩倍、與作在這個(gè)點(diǎn)所畫弧的雙曲線的任意一對(duì)共軛半徑，上平行四邊形(特別說(shuō)來(lái)是作在半軸，上的長(zhǎng)方形)面積之比值，因?yàn)橛幸阎獫u近線的所有雙曲線都同位相似，所以這個(gè)比值與半徑的取法無(wú)關(guān).這時(shí)半徑所掃過(guò)的面積，因而也就是雙曲旋轉(zhuǎn)的角，按下列規(guī)則決定正負(fù)號(hào).讓我們來(lái)討論那樣一對(duì)對(duì)頂角，它們是由第一條漸近線在繞著中心反時(shí)針方向直到與第二條漸近線重合的旋轉(zhuǎn)下所寫成的.在任意的具有已知漸近線的雙曲旋轉(zhuǎn)下,落在這一對(duì)對(duì)頂角里的點(diǎn)的半徑,或者都作反時(shí)針方向的旋轉(zhuǎn),或者都順時(shí)針方向的旋轉(zhuǎn).我們把這些半徑反時(shí)針方向所掃過(guò)的面積算作正的，順時(shí)針方向所掃過(guò)的面積算作負(fù)的.在另一對(duì)對(duì)頂角里所有的半徑向著相反的方向旋轉(zhuǎn);那兒我們把順時(shí)針方向所掃過(guò)的面積算作正的，反時(shí)針方向所掃過(guò)的面積算作負(fù)的.總之,在一個(gè)雙曲旋轉(zhuǎn)下，如果落在第一對(duì)對(duì)頂角里的半徑反時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，則這個(gè)雙曲旋轉(zhuǎn)的角算作正的，否則算作負(fù)的。恒等的雙曲旋轉(zhuǎn)(也就是當(dāng)作雙曲旋轉(zhuǎn)著的恒等變換)的角等于零。顯然，角為正的雙曲旋轉(zhuǎn)有系數(shù)τ>1，角為負(fù)的則有系數(shù)τ