[科普中國]-海涅－博雷爾定理

在數(shù)學(xué)分析中，海涅－博雷爾定理（Heine–Borel theorem）或有限覆蓋定理、博雷爾－勒貝格定理（Borel–Lebesgue theorem），以愛德華·海涅 和埃米爾·博雷爾命名。定理的主要內(nèi)容是度量空間的子集是緊致的，當(dāng)且僅當(dāng)它是完備的并且完全有界的。

歷史和動機今天叫做海涅-博雷爾定理的歷史開始于十九世紀(jì)對實分析的堅實基礎(chǔ)的尋覓。理論的中心是一致連續(xù)的概念和聲稱所有閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)是一致連續(xù)的定理。狄利克雷首先證明了它，并隱含的在他的證明中利用了閉區(qū)間的給定開覆蓋的有限子覆蓋的存在性。他在1862年的演講中使用了這個證明，并在1904年得以出版。后來 Eduard Heine、卡爾·魏爾斯特拉斯和 Salvatore Pincherle 使用了類似的技術(shù)。埃米爾·博雷爾在1895年首次發(fā)表并證明了一種形式的現(xiàn)在的海涅-博雷爾定理。他的公式化受限制于可數(shù)覆蓋。昂利·勒貝格(1898年)和 Schoenflies(1900年) 把它推廣到了任意覆蓋。

定理內(nèi)容對于歐幾里得空間Rn 的子集 S，下列兩個陳述是等價的:

S 是閉合并且有界的

所有 S 的開覆蓋有有限子覆蓋，就是說 S 是緊致的。

在實分析的文章中，前面性質(zhì)有時用做緊致性的定義性質(zhì)。但是在考慮更一般的度量空間的子集的時候這兩個定義就不再等價了，在這種一般情況下只有后者還用于定義緊致性。事實上，對任意度量空間的 Heine–Borel 定理為:度量空間的子集是緊致的，當(dāng)且僅當(dāng)它是完備的并且完全有界的。

定理的討論1、如果一個集合是緊致的，則它必定是閉合的。

設(shè)集合S是Rn的子集。首先證明一個引理：若a是S的一個極限點，則任意有限個開集U，其中U與a的某鄰域VU不相交，所組成的開集族C不能構(gòu)成S的一個開覆蓋。實際上，所有的VU的交集是a的一個鄰域，記為W。由于a是S的一個極限點，W必須包含一個屬于S的點x。而由于x不被包含于C，故開集族C不能構(gòu)成S的一個開覆蓋。

若S是緊集但不是閉集，則存在S的一個極限點a，它不屬于S。考慮一個開集族C’，其中C’是由所有S中的點x的某個鄰域 N(x)所組成的，其中每個鄰域N(x)足夠小，使得其與a的某個鄰域不相交。則C’構(gòu)成S的一個開覆蓋，但是C’的任意有限子集符合引理條件，故不可能構(gòu)成S的開覆蓋。由此，與S的任意開覆蓋存在有限子覆蓋矛盾。故S是閉的。 這個證明也可以說明任意Hausdorff空間的緊集是閉集。

2、如果一個集合是緊致的，則它是有界的。

考慮以一個公共點為中心有任何半徑的那些開球。這可以覆蓋任何集合，因為在這個集合中所有點都用與那個點有某種距離。這個覆蓋的任何有限覆蓋必定是有界的，因為它會被界定在這個子覆蓋的最大開球內(nèi)。因此，這個子覆蓋的所覆蓋的任何集合都必定是有界。

3、緊致集的一個閉子集是緊致的

令K為 上的一個緊致集T的一個閉子集，令CK為K的一個開覆蓋。 那么U= \K是一個開集并且

是T的一個開覆蓋。由于T是緊致的, 那么CT有一個有限的子覆蓋 同樣覆蓋更小的集合K。因為U不包含K的任何點, 集合K已經(jīng)被 覆蓋，它是原始族CK的一個有限子族。那么就能夠從K得任意開覆蓋CK中篩選出一個有限的子覆蓋。

4、如果一個集合封閉且有界，那么它是緊致的。

如果內(nèi)的一個集合S是有界的，那么它可以被包圍在n維盒中

其中a> 0。由上述性質(zhì)，足夠說明T0是緊致的。

推廣真正推廣到任意度量空間為:

度量空間的子集是緊致的，當(dāng)且僅當(dāng)它是完備的和完全有界的。這種推廣也適用于拓?fù)湎蛄靠臻g，更一般適用于一致空間。

下面是證明的 "?" 部分的梗概，依據(jù)于讓·迪厄多內(nèi)，在一般度量空間的上下文中:

明顯的任何緊致集合 E 都是完全有界的。

設(shè) (xn) 是在 E 中任意柯西序列；并設(shè) Fn 是在 E 中集合 { xk : k ≥ n } 的閉包并且 Un := E ? Fn。如果所有 Fn 的交集為空，則 (Un) 將是 E 的開覆蓋，因此將有 E 的有限子覆蓋 (Unk)，因此 Fnk 將為空，這蘊涵了 Fn 對于所有大于任何 nk 的 n 為空，這是個矛盾。所以所有 Fn 的交集非空，而在這個交集中的任何點都是序列 (xn) 的會聚點。

柯西序列的任何會聚點都是極限點 (xn)；所以任何 E 中柯西序列收斂在 E 中，換句話說，E 是完備的。

證明的 "" 部分的證明可輕易的推廣到任意一致空間，但是 "