[科普中國]-三次互反律

在數(shù)學(xué)中，三次互反律是關(guān)于模代數(shù)中兩個對應(yīng)的三次方程的可解性之間的關(guān)系的結(jié)論和定理。1

相關(guān)術(shù)語三次互反律最常使用艾森斯坦整數(shù)進(jìn)行表述。艾森斯坦整數(shù)是指由形如的復(fù)數(shù)組成的環(huán)，記作。其中a 和b 是整數(shù)， 為三次單位根：

定理如果是中范數(shù)為的一個素?cái)?shù)。與互素。定義三次剩余符號為一個三次單位根，并滿足

再定義“原初”素?cái)?shù)是模3余于-1的素?cái)?shù)。由于每個素?cái)?shù)在乘以中的一個單位元后都會成為“原初”素?cái)?shù)，因此關(guān)于“原初”素?cái)?shù)的定律仍具有普遍性。這時(shí)，三次互反律說明，對兩個不同的“原初”素?cái)?shù)和，有

此外有輔助定理：如果那么：

由于

因此可以計(jì)算任意艾森斯坦整數(shù)的三次剩余。2

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胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)