[科普中國]-實二次型

實二次型(real quadratic form)是一類重要的二次型，指實數域上的二次型，任意實二次型f(x1，x2，…，xn)都可以通過實滿秩線性代換化為形如y21+…+y2p-y2p+1-…-y2r的標準形。這種標準形稱為實二次型f的規(guī)范型或正規(guī)型，其中r是f的秩，正平方項個數p稱為f的正慣性指數，負平方項個數q=r-p稱為f的負慣性指數，s=p-q稱為f的符號差，實二次型的正、負慣性指數是惟一確定的，此稱為實二次型的慣性定律，亦稱慣性定理。此定理由西爾維斯特(J.J.Sylvester)給出，故亦稱西爾維斯特定理。但他認為不證自明。雅可比(C.G.J.Jacobi)也獨立發(fā)現并證明了這個定理。兩個n元實二次型等價的充分必要條件是：它們有相同的秩，且有相同的正慣性指數(或有相同的秩與符號差)1。

定義(1) n元實二次型指的是含有n個變量 的實系數二次齊次多項式

其中

為n階實對稱矩陣。

對于取定的變量組 來說,n元實二次型f( )=x'Ax與n階實對稱矩陣A=(aij)n×n是互相唯一確定的，稱A是二次型f的矩陣，稱f是以A為矩陣的二次型2。

(2) 只有平方項 而沒有交叉項 ,i≠j的二次型稱為n元標準二次型

其中

(3)如果對于n階方陣A和B，存在n階可逆矩陣P使B=P'AP，則稱A與B合同，記為 。矩陣之間的合同關系有反身性、對稱性和傳遞性。

(4)所有平方項的系數為±1或0的標準二次型稱為規(guī)范二次型

其中

r是二次型的秩，k為二次型的正慣性指數，r-k為二次型的負慣性指數，k-(r-k)=2k-r為二次型的符號差2。

基本結論(1)對于任何變量值 ，二次型f( )=x'Ax的值恒為0A=O。

(2)n階方陣A和B等價指的是存在n階可逆矩陣P和Q使得B=PAQ，記為A≌B2。

n階方陣A和B相似指的是存在n階可逆矩陣P使得B = P-1AP，記為A~B。

n階方陣A和B合同指的是存在n階可逆矩陣P使得B=P'AP，記為 。

兩個相似的矩陣一定是等價的，兩個合同的矩陣也一定是等價的。但是，反之并不成立，即等價的矩陣未必相似，也未必合同，矩陣相似與矩陣合同是兩個不同的概念，只有當B = P-1AP中的P是正交矩陣時，才同時有B =P'AP，所以，兩個矩陣正交相似與正交合同是一回事。

(3)對于任意一個n元實二次型f=x'Ax ，必存在正交變換x =Py,這里P是n階正交矩陣，把它化為標準形：

f( )=x'Ax= (Py)'A(Py)=y'P'APy=y'Λy=

其中，λ1,... , λn就是對稱矩陣A的n個特征值。

(4)對于任意一個n元實二次型f=x'Ax ，必存在可逆線性變換x=Qy，這里Q是n階可逆矩陣，把它化為標準形

f()=x'Ax= (Qy)'A(Qy)=y'Q'AQy=y'Λy=

其中,未必是對稱矩陣A的特征值。

(5)慣性定理 對于任意一個n元實二次型f=x'Ax，必存在可逆線性變換x=Rz，這里R是n階可逆矩陣，把它化為規(guī)范形

f()=x'Ax=

其中k和r是由A唯一確定的(與所采用的變換的選擇無關)。

慣性定理的矩陣形式。對于任意一個n階對稱矩陣A，一定存在n階可逆矩陣R使得

其中k和r是由B唯一確定的。

(6)合同判別法。當A與B是同階對稱矩陣時，它們合同當且僅當它們有相同的秩和相同的正慣性指數，因為對稱矩陣的秩就是它的正慣性指數和負慣性指數之和，所以，兩個同階對稱矩陣A與B合同當且僅當它們有相同的正慣性指數和相同的負慣性指數2。

本詞條內容貢獻者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學