[科普中國]-海廷代數(shù)

在數(shù)學(xué)里，海廷代數(shù)是一特殊的偏序集，經(jīng)由廣義化布爾代數(shù)而成，得名于阿蘭德·海廷。海廷代數(shù)是作為直覺主義邏輯的模型而產(chǎn)生的，是一種排中律不總是成立的邏輯。完全海廷代數(shù)是無點(diǎn)拓?fù)鋵W(xué)的核心。1

形式定義海廷代數(shù)H為一有界格，滿足如下條件：對(duì)于在H中的所有a和b，存在一屬于H的最大元素x，使得

元素x被稱為a對(duì)應(yīng)于b的相對(duì)偽補(bǔ)元(relative pseudo-complement)，并標(biāo)記為 。H中最大和最小元素分別寫成1和0。

任一海廷代數(shù)，皆可定義出任一元素x的偽補(bǔ)元?x為?x = (x → 0)。依定義，a ∧ ?a = 0,，且?a是具有此一性質(zhì)的最大元素。不過，因?yàn)閍 ∨ ?a = 1,并不總是真的，所以?只是一個(gè)偽補(bǔ)運(yùn)算，而不是像在布爾代數(shù)中所見真正的補(bǔ)元。完全海廷代數(shù)是指具有完全格的海廷代數(shù)。海廷代數(shù)H的子代數(shù)是指H的子集H1，包含0和1，并在∧、∨和→等運(yùn)算下是封閉的。這表示在?下也是封閉的。

其他等價(jià)的定義格理論的定義海廷代數(shù)的等價(jià)定義可由如下映射給出：對(duì)于H中的某些固定元素a，

定義為

有界格H是海廷代數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)所有的映射fa都是單調(diào)伽羅瓦連接的下伴隨(lower adjoint)。在這種情況下，其相對(duì)應(yīng)的上伴隨 是由 給出的，其中的 定義同上。

性質(zhì)海廷代數(shù)總是符合分配律。就是說，給定格A和二元運(yùn)算→它們形成一個(gè)海廷代數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)如下成立：

1、

2、

3、

4、 （分配律）

這有時(shí)被陳述為公理，但實(shí)際上可以從相對(duì)偽補(bǔ)元的存在性得到。道理是作為伽羅瓦連接的下伴隨， 保持所有現(xiàn)存的上確界。所以分配律就是 對(duì)二元最小上界的保持。

進(jìn)一步的，通過類似的論證，下列無限分配律在任何完全海廷代數(shù)中都成立：

對(duì)于任何H中的元素x和任何H的子集Y。

不是所有海廷代數(shù)都滿足兩個(gè)德·摩根定律。但是，對(duì)于所有海廷代數(shù)H下列陳述都是等價(jià)的：

1、H滿足兩個(gè)德·摩根定律。

2、 ，對(duì)于所有H中的x y。
3、 ，對(duì)于所有H中的x。

4、 ，對(duì)于所有H中的xy。

H的一個(gè)元素x的偽補(bǔ)元是集合 的上確界，并且屬于這個(gè)集合(就是說， 成立)。

海廷代數(shù)H的一個(gè)元素x叫做正規(guī)的，如果如下等價(jià)條件之一成立：

1、

2、 ，對(duì)于H的某個(gè)元素y。

海廷代數(shù)H是布爾代數(shù)，如果下列等價(jià)條件之一成立的：

1、所有H中的x都是正規(guī)的。

2、 ，對(duì)于所有H中的x。在這種情況下，元素 等價(jià)于 。

在任何海廷代數(shù)中，最小0和最大元素1都是正規(guī)的。任何海廷代數(shù)的正規(guī)元素都構(gòu)成一個(gè)布爾代數(shù)。除非海廷代數(shù)的所有元素都是正規(guī)的，這個(gè)布爾代數(shù)都不會(huì)是這個(gè)海廷代數(shù)的子格，因?yàn)椴⑦\(yùn)算將是不同的。2

例子1、所有是有界格的全序集合也是海廷代數(shù)，在這里對(duì)于不是0的所有a有 和 。

2、不是布爾代數(shù)的最簡單的海廷代數(shù)是線性有序集合{0, ?, 1}帶有如下運(yùn)算：

注意不滿足排中律。

3、所有的拓?fù)涠家运拈_集格的形式提供完全海廷代數(shù)。在這種情況下，元素是和B的并的內(nèi)部，這里的 指示開集A的補(bǔ)。不是所有完全海廷代數(shù)都有這種形式。這些問題在無點(diǎn)拓?fù)鋵W(xué)中研究，這里完全海廷代數(shù)也叫做frame或locale。

4、命題直覺主義邏輯的林登鮑姆-塔斯基代數(shù)是海廷代數(shù)。它被定義為所有命題邏輯公式的集合，并通過邏輯蘊(yùn)涵來排序：對(duì)于任何兩個(gè)公式F和G我們有，當(dāng)且僅當(dāng)。在這個(gè)階段只是誘發(fā)海廷代數(shù)所需要的偏序的預(yù)序。

應(yīng)用于直覺主義邏輯的海廷代數(shù)阿蘭德·海廷(1898年－1980年)自己感興趣于以這種類型的結(jié)構(gòu)來澄清直覺主義邏輯的基礎(chǔ)地位。皮爾士定律的案例說明了海廷代數(shù)的語義角色，并給出皮爾士定律不能從直覺主義邏輯的基本定律中推導(dǎo)出來的最簡單的已知證明。

如果用海廷代數(shù)的術(shù)語解釋直覺主義命題邏輯的公理，則對(duì)于任何值到公式變量的指派下的任何海廷代數(shù)，它們將求值得到最大元素1。例如，通過偽補(bǔ)元的定義，是最大元素x使得。這個(gè)不等式對(duì)任何x都滿足，所以最大的這種x是1。

進(jìn)一步的，肯定前件規(guī)則允許從公式P和P → Q導(dǎo)出公式Q。在任何海廷代數(shù)中，如果P有值1，并且P → Q有值1，因?yàn)樗馕吨?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/NRpFdfj8WlZSdiAsThONslq5bcmKjN3gJamj.jpg" alt="" />，所以；因此Q只能有值1。這意味著如果一個(gè)公式可以從直覺主義邏輯中演繹出來，即從它的公理通過肯定前件推導(dǎo)出來，則在任何值到公式變量的指派下的任何海廷代數(shù)中，它總是有值1。但是你可以一個(gè)海廷代數(shù)在其中皮爾士定律的值不總是1。考慮上面給出的三元素代數(shù){0,?,1}。如果我們指派?到P并指派0到Q，則皮爾士定律 ((P → Q) → P) → P的值是?。這得出了皮爾士定律是不能直覺主義邏輯推導(dǎo)的。這在類型論中的蘊(yùn)涵詳情請(qǐng)參見柯里-霍華德同構(gòu)。

反過來也是可證明的：如果一個(gè)公式總是有值1，則它是可以從直覺主義邏輯的公理系統(tǒng)演繹出來的，所以“直覺主義有效”的公式嚴(yán)格的是永遠(yuǎn)有值1的公式。這類似于“經(jīng)典有效”公式是在兩元素布爾代數(shù)中在對(duì)公式變量的任何可能真和假指派下永遠(yuǎn)有值1的公式，它們?cè)谕ǔ５恼嬷当硪饬x上是重言式。從邏輯的立場，海廷代數(shù)是普通真值系統(tǒng)的推廣，它的最大元素1可比擬于真。平常的二值邏輯系統(tǒng)是海廷代數(shù)的特殊情況，和最小的非平凡的系統(tǒng)，在其中僅有的代數(shù)元素是1(真)和0 (假)。3

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)