[科普中國(guó)]-單純集合

數(shù)學(xué)里，單純集合（simplical set）是范疇同倫論中一個(gè)構(gòu)造，這是“良態(tài)”拓?fù)淇臻g的一個(gè)純代數(shù)模型。歷史上，這個(gè)模型源自組合拓?fù)鋵W(xué)特別是單純復(fù)形。1

引言拓?fù)淇臻g可從單形以及它們的接合關(guān)系（或準(zhǔn)確地說(shuō)表示為差一個(gè)同倫）構(gòu)造出來(lái)，單純集合是抓住這一點(diǎn)的范疇（即純代數(shù)）模型。這類(lèi)似于拓?fù)淇臻g的 CW復(fù)形模型，本質(zhì)區(qū)別是單純集合是純代數(shù)的，本身不帶任何拓?fù)洌ㄟ@在給出正式定義后將見(jiàn)到）。

為了得到真正的拓?fù)淇臻g，有一個(gè)幾何實(shí)現(xiàn)函子，取值于緊生成豪斯多夫空間范疇。同倫論中絕大多數(shù)關(guān)于 CW 復(fù)形的結(jié)論有類(lèi)似的單純復(fù)形版本，推廣了這些結(jié)論。盡管代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)家大多數(shù)仍堅(jiān)持使用 CW 復(fù)形，越來(lái)越多的研究者對(duì)將單純集合應(yīng)用于代數(shù)幾何學(xué)感興趣，在代數(shù)幾何中 CW 復(fù)形不是自然存在的。

正式定義使用范疇論語(yǔ)言，一個(gè)單純集合 X 是一個(gè)反變函子

這里 Δ 表示單純范疇，其對(duì)象是有限字符串或如下形式的序數(shù)

0 → 1 → ... →n

（換句話(huà)說(shuō)，非空間全序有限集合），而態(tài)射是它們之間的保序函數(shù)，Set 是小集合范疇。通常定義單純集合為從反范疇出發(fā)的共變函子.

這顯然等價(jià)于上一個(gè)定義?；蛘?，我們可以將一個(gè)單純集合想象為 Set 范疇中的一個(gè)單純對(duì)象，不過(guò)這只是如上定義的另一種說(shuō)法。如果我們使用反變函子 X，則得到了余單純集合的定義。單純集合組成一個(gè)范疇，通常記做 sSet 或 S，其對(duì)象是單純集合，態(tài)射是他們之間的自然變換。對(duì)余單純集合也有相應(yīng)的范疇，記做 cSet。這些定義來(lái)自于范疇 Δ 中施加到面映射與退化映射上條件的關(guān)系。2

面映射與退化映射在 內(nèi)，有兩類(lèi)特別重要的映射稱(chēng)為面映射與退化映射，他們抓住了單純集合的組合性質(zhì)。

面映射 di : n → n ? 1 如下給出

di(0 → … →n) = (0 → … →i?1 →i+1 → … →n).

退化映射 si : n → n + 1 如下給出

si (0 → … → n) = (0 → … → i ? 1 → i → i → i + 1 → … → n).

由定義，這些映射滿(mǎn)足如下單純恒等式：

di dj = dj?1 di 如果 i

di sj = sj?1 di 如果 i

dj sj = id = dj+1 sj

di sj = sj di?1 如果 i > j + 1

si sj = sj+1 si 如果 i ≤ j.

單純范疇 Δ 的態(tài)射為單調(diào)不減函數(shù)。于是這些映射由去掉或添加一個(gè)元素組成，上如具體關(guān)系強(qiáng)調(diào)了拓?fù)鋺?yīng)用?？梢宰C明這些關(guān)系是充分的。

標(biāo)準(zhǔn) n-單形與單形范疇范疇中 標(biāo)準(zhǔn) n-單形，記做 ，是函子 hom(-, n) 這里 n 表示開(kāi)始 (n+1) 個(gè)非負(fù)整數(shù)字符串 0 → 1 → ... → n，而 hom 集合在范疇 Δ 上取。在一些教材中，卻記做 hom(n,-) 這里 hom 集合理解成取于反范疇 。

集合實(shí)現(xiàn) |Δn| 定義為一般位置的標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)?n-單形

由米田引理，單純集合 X 的 n-單形由自然變換hom(Δn, X) 刻畫(huà)。從而 X 的 n-單形記做 Xn。進(jìn)一步，存在一個(gè)單形范疇，記做 其對(duì)象是映射 Δn → X，態(tài)射是由在 Δ 中的 n → m 給出 X 上的自然變換 Δm → Δn。如下同態(tài)指出單純集合 X 是其單形的余極限：

這里余極限在 X 的單形范疇上取。

幾何實(shí)現(xiàn)有一個(gè)叫做幾何實(shí)現(xiàn)的函子 |·|: S → CGHaus，將一個(gè)單純集合 X 映為緊生成豪斯多夫拓?fù)淇臻g范疇中對(duì)應(yīng)的實(shí)現(xiàn)。這個(gè)較大的范疇用于這個(gè)函子的靶是因?yàn)?，特別地，單純集合的乘積

實(shí)現(xiàn)為對(duì)應(yīng)拓?fù)淇臻g的實(shí)現(xiàn)

其中 表示凱萊空間乘積（Kelley space product）。為了定義實(shí)現(xiàn)函子，我們首先定義它在 n-單形 Δn 上為對(duì)應(yīng)的拓?fù)?n-單形 |Δn|。該定義自然擴(kuò)張到任何單純集合：

|X| = limΔn → X |Δn|

這里余極限取在 X 的 n-單形。幾何實(shí)現(xiàn)函子在 S 上有函子性。

空間的奇異集合一個(gè)拓?fù)淇臻g Y 的奇異集合是如下單純集合，對(duì)每個(gè)對(duì)象 n ∈ Δ，S(Y): n → hom(|Δn|, Y)，態(tài)射上賦予明顯的函子條件。這個(gè)定義類(lèi)似于單純拓?fù)渲械耐ㄟ^(guò)標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)?n-單形研究一個(gè)拓?fù)淇臻g的想法。另外，奇異函子 S 右伴隨于上面所說(shuō)的幾何實(shí)現(xiàn)函子：

homTop(|X|,Y) ? homS(X,SY)

對(duì)任何單純集合 X 與任何拓?fù)淇臻g Y。

單純集合的同倫論在單純集合范疇中，可以定義纖維化為闞纖維化。單純集合的一個(gè)映射定義為弱等價(jià)如果其幾何實(shí)現(xiàn)是空間的弱等價(jià)。單純集合的一個(gè)映射定義為上纖維化如果它是單純集合的一個(gè)單態(tài)射。丹尼爾·奎倫的一個(gè)艱深的定理說(shuō)具有這三類(lèi)態(tài)射的單純集合范疇滿(mǎn)足真閉單純模型范疇的公理。3

此理論的一個(gè)重要轉(zhuǎn)折點(diǎn)是闞纖維化的幾何實(shí)現(xiàn)是空間的塞爾纖維化。以空間上的模型結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，利用標(biāo)準(zhǔn)同倫抽象廢話(huà)可以發(fā)展一套單純集合的同倫論。進(jìn)一步，集合實(shí)現(xiàn)與奇異函子給出閉模型范疇之間的一個(gè)奎倫等價(jià)，這包含了單純集合的同倫論與 CW 復(fù)形的通常同倫論之間的等價(jià)：

|·|: Ho(S) ? Ho(Top) : S.

單純對(duì)象范疇 C 中的一個(gè)單純對(duì)象 X 是一個(gè)反變函子

X: Δ → C

或等價(jià)地共變函子：

X: Δop → C

當(dāng) C 是集合范疇，我們討論的就是單純集合。設(shè) C 是群范疇或阿貝爾群范疇，我們分別得到單純?nèi)悍懂牶蛦渭儼⒇悹柸悍懂牎?/p>

單純?nèi)号c單純阿貝爾群也帶有由底單純集合誘導(dǎo)的閉模型結(jié)構(gòu)。

單純阿貝爾群的同倫群可由都德-闞對(duì)應(yīng)（Dold-Kan correspondence）給出，它誘導(dǎo)了單純阿貝爾群與有界鏈復(fù)形兩個(gè)范疇之間的等價(jià)，這個(gè)等價(jià)關(guān)系由函子：N: sAb → Ch+與Γ: Ch+ → sAb給出。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)